人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　三角函数公式的应用

【课中探究】

探究点一

例1　证明:左边=sin αcos α+sin αcos α-sin α=sin αcos2α-sin2α=(2sin αcos2α+sin αcos 2α)=(sin 2αcos α+cos 2αsin α)=sin 3α=右边.

变式　证明:-tan θ·tan 2θ=-=====1.

探究点二

探索 辅助角　倍角公式

例2　解:(1)由题意,可知点M为的中点,所以OM⊥AD.

设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsin θ,OF=Rcos θ,所以AB=OF-AD=Rcos θ-Rsin θ,

所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ)=R2(2sin θcos θ-2sin2θ)=R2(sin 2θ-1+cos 2θ)=R2sin2θ+-R2,θ∈0,.

(2)因为θ∈0,,所以2θ+∈,,

所以当2θ+=,即θ=时,S有最大值,

Smax=(-1)R2=(-1)×452≈0.414×2025=838.35(m2).

故当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积约为838.35 m2.

变式　解:(1)a=,h=asin θ+cos θ=sin θ+cos θ=2sinθ+.

∵0<θ<,∴<θ+<,

当且仅当θ+=,即θ=时,hmax=2.

(2)h(h1+h2)=(asin θ+cos θ)(acos θ+sin θ)= sin 2θ+a,

当且仅当2θ=,即θ=时,h(h1+h2)的最大值为+a=4,

整理得a2+2a-7=0,

解得a=2-1或a=-2-1,

又a>0,∴a=2-1.

【课堂评价】

1.A　[解析] 因为α∈,π,所以sin α>0,由半角公式可得sin α==.

2.C　[解析] 由题意得,y=sin 2xcos 2x=sin 4x,则函数的最大值为.

3.C　[解析] 原式=1+2sin cos +1-cos 2-=2+sin α-cos-α=2+sin α-sin α=2.

4.C　[解析] 由题意可知,a=sin 24°,b=sin 26°,c=sin 25°,而当0°<x<90°时,y=sin x单调递增,∴a<c<b,故选C.

5.π　[解析] f(x)=sin2x+sin xcos x+1=+sin 2x+1=(sin 2x-cos 2x)+=sin2x-+,∴f(x)的最小正周期T=π.

6.R2　[解析] 设长方形的面积为S,∠AOB=α0<α<,则AB=Rsin α,OB=Rcos α,S=(Rsin α)·(2Rcos α)=2R2sin αcos α=R2sin 2α.当sin 2α取最大值,即sin 2α=1时,长方形的面积最大,此时α=,长方形面积的最大值为R2.