人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

【课前预习】

知识点一

1.sin αcos β+cos αsin β　2sin αcos α

2.cos αcos β-sin αsin β　cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α

3.　

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)正确.10α是5α的2倍,5α是的2倍.

(2)错误.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ且α≠±+kπ(k∈Z).

(3)正确.当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.

知识点二

1.sin 2α　sin 2α　cos 2α　tan 2α

2.2cos2α　2sin2α　2cos2　2sin2　(1+cos 2α)　(1-cos 2α)

诊断分析

1.(1) ×　(2)√　[解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=.

(2)1-2sin222.5°=cos 45°=.

2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.

【课中探究】

探究点一

例1　①　②　③-2　④4　[解析] ①cos415°-sin415°=(cos215°-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=.

②cos 36°cos 72°====.

③=2×=2×=-2.

④-======4.

变式　(1)-　(2)　[解析] (1)原式=1-2cos2=-cos=-.

(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°=======.

探究点二

例2　(1)　(2)-　[解析] (1)将sin θ-cos θ=两边平方可得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,即1-sin 2θ=,所以sin 2θ=.

(2)由cos-θ=,得sin 2θ=cos-2θ=2cos2-θ-1=2×-1=-.

(3)解:由tan α+=,得+=,

则=,即sin 2α=.

因为α∈,,所以2α∈,π,

所以cos 2α=-=-,sin2α+=sin 2α·cos+cos 2α·sin=×-×=.

探究点三

例3　(1)-2cos α　(2)1　[解析] (1)原式=

-=

-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|,∵<α<,∴sin α>cos α>0,∴原式=(sin α-cos α)-(sin α+cos α)=-2cos α.

(2)原式==

==

==1.

变式　(1)D　(2)2sin　(3)　[解析] (1)原式====tan θ.

(2)∵2π<α<3π,∴π<<,<<,∴====2sin.

(3)由题得f(x)=·=tan 2x,∴函数f(x)的最小正周期为.

【课堂评价】

1.B　[解析]  cos215°-sin215°=cos 30°=.

2.A　[解析] sin 2α=2sin αcos α==-.

3.D　[解析] 原式=cos2-sin2=cos=,故选D.

4.C　[解析] cos2α-=====.

5.ABC　[解析] 由倍角公式可知A,B,C中的式子均一定成立,D项中的式子不一定成立.

6.2　[解析] 原式=2×=2tan2×=2tan=2.