高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第2课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第2课时学案，文件包含正文docx、答案docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

【课前预习】
知识点一
1.cs αcs β+sin αsin β
2.cs αcs β-sin αsin β
3.sin αcs β+cs αsin β
4.sin αcs β-cs αsin β
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)正确.根据公式的推导过程可得.
(2)正确.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)错误.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)正确.sin(54°-x)cs(36°+x)+cs(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
2.解:(1)cs(α+β)=cs[α-(-β)]=cs αcs(-β)+sin αsin(-β)=cs αcs β-sin αsin β.
(2)sin(α-β)=csπ2-(α-β)=csπ2-α-(-β)=csπ2-αcs(-β)+sinπ2-αsin(-β)=sin αcs β-cs αsin β.
知识点二
1.tanα+tanβ1-tanαtanβ
2.tanα-tanβ1+tanαtanβ
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)当α=π2时,等式不成立.
(2)当α=π4,β=π时,tan(α+β)=tanπ4+π=tanπ4=1,tan α+tan β=tanπ4+tan π=1,正确.
(3)∵tan12°+tan33°1-tan12°tan33°=tan(12°+33°)=tan 45°=1,∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)A (3)62 (4)-1 [解析] (1)∵cs 151°=-cs 29°,∴原式=-sin 16°cs 29°-cs 16°sin 29°=-sin(16°+29°)=-22,故选A.
(2)tan 15°=tan(45°-30°)=tan45°-tan30°1+tan45°·tan30°=1-331+33=2-3.
(3)∵cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24,cs 75°=cs(30°+45°)=cs 30°cs 45°-sin 30°sin 45°=32×22-12×22=6-24,∴cs 15°+cs 75°=62.
(4)原式=1-tan60°tan75°tan60°+tan75°=1tan(60°+75°)=1tan135°=-1.
变式 解:(1)原式=sin(15°-8°)+cs15°sin8°cs(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cs8°-cs15°sin8°+cs15°sin8°cs15°cs8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°
=sin15°cs8°cs15°cs8°=sin15°cs15°=sin(45°-30°)cs(45°-30°)=6-246+24=2-3.
(2)原式=(tan 10°-tan 60°)cs10°sin50°=sin10°cs10°-sin60°cs60°cs10°sin50°=sin(-50°)cs10°cs60°·cs10°sin50°=-2.
(3)∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1-tan 23°tan 37°)=3-3tan 23°tan 37°,
∴原式=3-3tan 23°tan 37°+3tan 23°tan 37°=3.
探究点二
例2 (1)D (2)①210 ②π4 [解析] (1)∵tan α=34,∴tanα+π4=1+tanα1-tanα=1+341-34=7.故选D.
(2)因为α,β∈0,π2,所以sin α=1-cs2α=255,且α-β∈-π2,π2,又sin(α-β)=1010>0,所以0<α-β<π2,cs(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.
①cs(2α-β)=cs[α+(α-β)]=cs αcs(α-β)-sin αsin(α-β)=55×31010-255×1010=210.
②cs β=cs[α-(α-β)]=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)=55×31010+255×1010=22,因为β∈0,π2,所以β=π4.
变式 (1)22 [解析] 原式=sinπ6csπ12+csπ6sinπ12=sinπ6+π12=sinπ4=22.
(2)解:①因为π4<α<3π4,所以π2<π4+α<π,
所以sinπ4+α=1-cs2(π4+α)=45.
因为0<β<π4,所以3π4<3π4+β<π,
所以cs3π4+β=-1-sin2(3π4+β)=-1213.
故sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sinπ4+α+3π4+β=-sinπ4+αcs3π4+β+csπ4+αsin3π4+β=-45×-1213+-35×513=6365.
②由①可知,sinπ4+α=45,cs3π4+β=-1213,
所以sinπ4+α-3π4+β=sinπ4+αcs3π4+β-csπ4+αsin3π4+β=45×-1213--35×513=-3365.
又sinπ4+α-3π4+β=sin(α-β)-π2=-cs(α-β),所以cs(α-β)=3365.
③由①可得tanπ4+α=sin(π4+α)cs(π4+α)=-43,
所以tan α=tan π4+α-π4=tan(π4+α)-tanπ41+tan(π4+α)tanπ4=-43-11+(-43)×1=7.
拓展 C [解析] cs x+csx-π3=cs x+12cs x+32sin x=32cs x+32sin x=332cs x+12sin x=3csx-π6=-1.
【课堂评价】
1.C [解析] cs 16°cs 44°-sin 16°sin 44°=cs(44°+16°)=cs 60°=12.故选C.
2.D [解析] sin 20°cs 10°-cs 160°sin 10°=sin 20°cs 10°+cs 20°sin 10°=sin 30°=12.
3.A [解析] tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12+131-12×13=1.
4.A [解析] 由cs α=-45,α是第三象限角,可得sin α=-1-cs2α=-35,则sinα+π4=sin αcsπ4+cs αsinπ4=-35×22+-45×22=-7210,故选A.
5.3π4 [解析] ∵α,β为锐角,sin α=255,cs β=1010,∴α+β∈(0,π),且cs α=55,sin β=31010,∴cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=55×1010-255×31010=-22,故α+β=3π4.