人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时课堂检测

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

2.2　基本不等式

第1课时　利用基本不等式求最值

1.C　[解析] 原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,该不等式对任意实数都成立.

2.B　[解析] ∵x>0,∴x++2≥2+2=6+2=8,当且仅当x=,即x=3时取等号.故选B.

3.A　[解析] ∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1时取等号.故选A.

4.C　[解析] ∵a>1,∴a-1>0,则a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故选C.

5.B　[解析] 对于A,不能保证x>0,故A错误;对于B,=+≥2,当且仅当x=0时取等号,故B正确;对于C,y==+ ,令t=,则t≥2, y=t+,由基本不等式得y≥2=2,当且仅当t=1时等号成立,而t≥2,使用基本不等式时等号成立的条件不存在,故C错误;对于D,当x>0时,2-3x-=2-3x+≤2-4,当且仅当x=时取等号,此时无最小值,当x<0时,2-3x-=2+(-3x)+-≥2+4,当且仅当x=-时取等号,此时有最小值但不是2,故D错误.故选B.

6.B　[解析] ∵a>0,b>0,+=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·+-3=1+2++-3≥3+2-3=2,当且仅当=,即a=,b=时取等号.故选B.

7.ABC　[解析] 正实数a,b满足a+b=1,则有a+b≥2当且仅当a=b=时取等号,可得0<ab≤,即有+==≥4,故A选项正确;由0<≤,可得有最大值,故B选项正确;由+==≤=,可得+有最大值,故C选项正确;由a2+b2≥2ab可得2(a2+b2)≥(a+b)2=1,则a2+b2≥,当且仅当a=b=时取等号,故D选项不正确.故选ABC.

8.BCD　[解析] 对于A选项,∵x2+2≥2,∴≥>0,∴y=+≥2=2,当且仅当=,即x2+2=1时等号成立,又x2+2≥2,故A错误;对于B选项,当a>0,b>0时,++2≥+2≥2×2=4,当且仅当即a=b=1时等号成立,故B正确;对于C选项,∵a2+b2=2,∴a+b≤2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故C正确;对于D选项,∵a+b=2,∴a++(b+2)=1,则+=a++(b+2)+=×≥×=,当且仅当=,即a=b=1时等号成立,故D正确.故选BCD.

9.2　[解析] 因为x>1,所以x-1>0,故y=2(x-1)+≥2=2,当且仅当2(x-1)=,即x=1+时取等号.

10.　[解析] 因为0<x<1,所以1-x>0,则x(3-3x)=3x(1-x)≤3×2=,当且仅当x=1-x,即x=时取等号.

11.4　[解析] 因为a>b,所以a-b>0,又ab=2,所以==a-b+=a-b+≥2=4,当且仅当a-b=,即a=+1,b=-1时取等号.

12.3+2　　[解析] 2x+y=(2x+y)+=3++≥3+2=3+2,当且仅当即时等号成立,所以2x+y的最小值为3+2.=,因为+≥2=2,当且仅当即时等号成立,所以=≤=,所以的最大值为.

13.解:(1)∵x+y=1,x,y>0,

∴xy≤2=,当且仅当x=y=时等号成立,

∴x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-=,

∴x2+y2+xy的最小值为.

(2)由(1)知,xy≤,则(+)2=x+y+2=1+2≤1+2=2,∴+≤,即+的最大值为.

(3)∵x+y=1,x,y>0,∴x=1-y,

则x(1-3y)=(1-y)(1-3y)=3y2-4y+1=3y-2-,

∴当y=时,x(1-3y)取得最小值-.

14.解:根据题意得,方程x2-mx-20=0的两根为-2和n,则有

解得正实数a,b满足na+mb=2,即10a+8b=2,

即5a+4b=1,则+=+(5a+4b)=1+++4≥5+2=9,当且仅当a=,b=时取等号.

故+的最小值为9.

15.D　[解析] 由正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴==≤=1,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2,∴+-=+-=--12+1≤1,当且仅当y=1时取等号,故+-的最大值是1.故选D.

16.BCD　[解析] 对于A,根据基本不等式,可判定该运算过程正确;对于B,当x>1时,x-1>0,则x-1++1≥2+1=2+1,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,故B中运算过程错误;对于C,由于x2+=x2+4+-4≥2-4=2,当且仅当x2+4=,即x2+4=3时取等号,而x2+4=3无解,故C中运算过程错误;对于D,两次应用基本不等式时等号成立的条件不相同,第一次是x=4y,第二次是x=y,故D中运算过程错误.故选BCD.

17.解:(1)+==≥=2,当且仅当x=y=1时,等号成立,

所以+的最小值为2.

(2)不存在.因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,所以(x+y)2≤2(x2+y2)=2(x+y),

又x,y>0,所以x+y≤2,

从而有(x+1)(y+1)≤2≤4,当且仅当x=y=1时取等号,

因此不存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5.