高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时达标测试

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　基本不等式的简单应用

1.C　[解析] 因为a>b>0,所以a>,>b,又>,所以a>>>b.

2.D　[解析] a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),所以A不恒成立;ab>0,只能说明a,b同号,同为正数或同为负数,所以当a<0,b<0时,B不成立;同理,C不恒成立;和都是正数,根据基本不等式得+≥2=2(当且仅当a=b时取等号),故D恒成立.

3.D　[解析] 因为0<a<1,0<b<1,所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b,又a2+b2>2ab,所以2ab<a2+b2<a+b.又a+b>2,所以a+b的值最大,故选D.

4.D　[解析] 若a<0,则a+≥4不成立,故A不恒成立;当a=1,b=1时,a2+b2<4ab,故B不恒成立;当a=4,b=16时,<,故C不恒成立;由基本不等式得x2+≥2=2,当且仅当x2=时取等号,故D恒成立.故选D.

5.C　[解析] 方法一:∵x+y>2,∴<,排除D;∵+==>=,∴排除B;∵(x+y)2=x2+y2+2xy<2(x2+y2),∴>,排除A.故选C.

方法二:取x=1,y=2,则=,+=,=,==,易知最小.故选C.

6.C　[解析] 因为x>0,y>0,所以>0,>0,又x+y=1,所以+=+=++1≥2+1=5,当且仅当=,即y=2x=时取等号.因为+>m恒成立,所以m<+min=5,故选C.

7.ACD　[解析] 对于A,当a=1时,a2+1=2a,故A不恒成立;对于B,当x>0时,x+=x+≥=2,当且仅当x=1时,等号成立,当x<0时,x+=-x+≥2=2,当且仅当x=-1时,等号成立,故B恒成立;对于C,当a<0,b<0时,<0,故C不恒成立;对于D,当x=0时,x2+=1,故D不恒成立.故选ACD.

8.ABC　[解析] 对于A,根据基本不等式可知a>0时,a2+1≥2a>a,当且仅当a=1时等号成立,所以a2+1>a,故A恒成立;对于B,当a>0,b>0时,a+≥2=2,当且仅当a=1时等号成立,b+≥2=2,当且仅当b=1时等号成立,所以a+b+≥4,当且仅当a=b=1时等号成立,故B恒成立;对于C,(a+b)+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时等号成立,故C恒成立;对于D,a2+9≥2=6a,当且仅当a2=9,即a=3时等号成立,故D不恒成立.故选ABC.

9.≤　[解析] ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.

10.ab≥xy　[解析] 因为ab=ab·+=a+b≥2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以ab≥4.因为xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以ab≥xy.

11.4　48　[解析] 令BM=x,由题意可知△CDN∽△MBC,则=,即=,∴DN=,则矩形AMPN的面积S=AM·AN=(4+x)3+=24+3x+≥24+2=48,当且仅当3x=,即x=4时取等号,故当BM=4时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小面积为48.

12.②③④　[解析] 当a=3,b=时,满足a+b>2,但不满足ab>1,故①错误;∵a+b>2,∴≥>1,当且仅当a=b时等号成立,∴a2+b2>2,故②正确;假设≥1,≥1,则由a>0,b>0,得0<a≤1,0<b≤1,∴a+b≤2,与a+b>2矛盾,假设不成立,故③正确;假设≥2,≥2,则由a>0,b>0,得1+a≥2b,1+b≥2a,∴2+a+b≥2a+2b,∴a+b≤2,与a+b>2矛盾,假设不成立,故④正确.故填②③④.

13.证明:(1)由a>0,b>0,得a+b>0,∵a+b=+=,

∴ab=1,

∴a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,∴a+b≥2.

(2)左边=+-1++-1++-1=+++++-3,

∵a,b,c为正数,∴+≥2(当且仅当a=b时取等号),

+≥2(当且仅当a=c时取等号),

+≥2(当且仅当b=c时取等号),

从而+++++≥6(当且仅当a=b=c时取等号),

∴+++++-3≥3,

即++≥3.

14.解:(1)因为矩形ABCD的长为x m,所以宽为 m,

则中间区域的长为(x-4)m,宽为-4m,

可得4<x<50,则y=100×(x-4)-4+200200-(x-4)-4,

整理得y=18 400+400x+,4<x<50.

(2)因为x+≥2=20,当且仅当x=,即x=10时取等号,

所以当x=10时,总造价最低,最低总造价为(18 400+8000)元.

15.B　[解析] (x+y)+=1+a++≥1+a+2=(+1)2当且仅当=时取等号.∵(x+y)+≥9对任意正实数x,y恒成立,∴(+1)2≥9,∴a≥4.

16.B　[解析] 设从A地到B地的路程为s,小明从A地到B地和从B地到A地所用时间分别为t1,t2,则=t1,=t2,全程的平均速度v===,因为m>n>0,所以v=<=,v-n=-n==>0,所以n<v<,故选B.

17.证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥(当且仅当a=b时取等号),≥(当且仅当b=c时取等号),≥(当且仅当a=c时取等号),

∴++≥++(当且仅当a=b=c时取等号),

即a+b+c≥++.

∵a,b,c不全相等,∴等号不成立,

∴a+b+c>++.