人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第2课时课时练习

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　对数函数的图像及其性质的应用

1.B　[解析] f(x)=log2[(x-1)2+2]≥log22=1.

2.A　[解析] 令f(x)=ln|x|,可得f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x),又f(x)的定义域关于原点对称,故f(x)为偶函数,且当x>0时,y=ln x单调递增,符合题意;y=1-2x2在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;当x>0时,y=4-|x|=x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;y=ex-e-x为奇函数,不符合题意.故选A.

3.D　[解析] ∵函数y=g(x)的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln x,又函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像关于y轴对称,∴f(x)=ln(-x).∵f(m)=-1,∴ln(-m)=-1,解得m=-,故选B.

4.C　[解析] 易知函数f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,则g(1-x)=21-x.由复合函数的单调性可知y=g(1-x)在R上单调递减,故排除A,B;当x=1时,g(0)=21-1=1,故排除D.故选C.

5.D　[解析] 函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)=(-x)2+ln(|-x|+1)=x2+ln(|x|+1)=f(x),所以f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=x2+ln(x+1),易知f(x)单调递增,由偶函数的图像(图略)可知当x<0时,f(x)单调递减,所以f(x)>f(3x-1)等价于|x|>|3x-1|,两边平方并整理得8x2-6x+1<0,解得<x<.故选D.

6.C　[解析] 解不等式-x2+4x+5>0,得-1<x<5,由复合函数的单调性可知,函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).因为函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,所以解得≤m<2.因此实数m的取值范围是,2.故选C.

7.BC　[解析] 因为在区间(0,1)上,x2-1<0,所以A中函数不符合条件;因为在区间(0,1)上,t=1-x2单调递减,y=lot单调递减,所以y=lo(1-x2)在区间(0,1)上单调递增,故B中函数符合条件;因为在区间(0,1)上,m=x2单调递增,y=ln m单调递增,所以y=ln x2在区间(0,1)上单调递增,故C中函数符合条件;因为在区间(0,1)上,n=2x+1单调递增,y=lon单调递减,所以y=lo(2x+1)在区间(0,1)上单调递减,故D中函数不符合条件.故选BC.

8.ABD　[解析] 对于A,令g(x)=f(x+1)=lg(|x|+1),易知g(x)的定义域关于原点对称,则g(-x)=lg(|-x|+1)=lg(|x|+1)=g(x),所以y=f(x+1)是偶函数,故A正确;对于B,令t=|x-1|+1,因为t=|x-1|+1在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,而y=lg t在定义域上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,令f(x)=0,得x=1,所以f(x)的图像与x轴只有一个交点,故C不正确;对于D,因为|x-1|+1≥1,所以lg(|x-1|+1)≥0,所以f(x)的值域为[0,+∞),故D正确.故选ABD.

9.(-∞,1)　[解析] 由x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,由于y=lou在其定义域上单调递减,而u=x2-3x+2在(-∞,1)上单调递减,故y=lo(x2-3x+2)的单调递增区间为(-∞,1).

10.[-3,-2]　[解析] 由y=lo(x2-6x+13)=lo[(x-3)2+4]可知,当x∈[2,5]时,(x-3)2+4∈[4,8],令t=(x-3)2+4,则t∈[4,8],因为函数y=lot是减函数,所以函数y=lo(x2-6x+13)的值域是[lo8,lo4],即[-3,-2].

11.2　[解析] 由题意得ln+ln=ln=0,所以=1,所以a2=4,即a=±2.当a=-2时,y=ln=ln(-1),不符合题意,故舍去,所以a=2.

12.1,　[解析] 若0<a<1,则当x≥1时,logax≤0,当x<1时,(3-a)x-a<3-a-a=3-2a,此时f(x)的值域不为R,不符合题意;若a>1,则当x≥1时,logax≥0,当x<1时,要使函数f(x)的值域为R,只需可得1<a≤.综上所述,实数a的取值范围是1,.

13.解:(1)f(x)是奇函数.

证明:由对数函数的定义得解得-1<x<1,则函数f(x)的定义域关于原点对称,

又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),

所以函数f(x)是奇函数.

(2)证明:任取-1<x1<x2<1,

则f(x1)-f(x2)=ln(1+x1)-ln(1-x1)-ln(1+x2)+ln(1-x2)=ln,

因为-1<x1<x2<1,所以0<1+x1<1+x2,0<1-x2<1-x1,

所以0<<1,0<<1,

所以0<<1,

因此ln<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在(-1,1)上是增函数.

(3)因为f(x)是奇函数,所以f(2x-5)+f(2-x)<0等价于f(2x-5)<f(x-2),

又由f(x)是(-1,1)上的增函数,得解得2<x<3,所以不等式的解集为{x|2<x<3}.

14.解:(1)由题意,log24x·log22x=(log24+log2x)·(log22+log2x)=(2+log2x)·(1+log2x),

令t=log2x,因为x∈,4,

所以t=log2x∈[-2,2].

令y=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,根据二次函数的性质,可得当t=-,即x==时,y=t2+3t+2取得最小值,最小值为-2+3×-+2=-;

当t=2,即x=22=4时,y=t2+3t+2取得最大值,最大值为22+3×2+2=12.

综上,当x=时,f(x)取得最小值-;当x=4时,f(x)取得最大值12.

(2)由(1)知,f(x)-6>0可化为t2+3t-4>0,解得t>1或t<-4,

又因为t∈[-2,2],所以1<t≤2,

则log22<log2x≤log24,

即2<x≤4,故不等式f(x)-6>0的解集为{x|2<x≤4}.

15.A　[解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).当x>1时,f(x)=ln(x-1),由复合函数的单调性可知f(x)单调递增,故排除D;当0<x<1时,f(x)=ln(1-x),由复合函数的单调性可知f(x)单调递减,故排除B;当x<0时,f(x)=-ln(1-x),由复合函数的单调性可知f(x)单调递增,故排除C.故选A.

16.D　[解析] 由f(x)=ln|3x+1|-ln|3x-1|得函数f(x)的定义域是xx≠±,关于原点对称,又f(-x)=ln|-3x+1|-ln|-3x-1|=ln|3x-1|-ln|3x+1|=-f(x),所以f(x)是定义域上的奇函数,故排除A,B;当x∈-,时,f(x)=ln(3x+1)-ln(1-3x),因为y=ln(3x+1)在-,上单调递增,y=ln(1-3x)在-,上单调递减,所以f(x)在-,上单调递增,故排除C;当x∈-∞,-时,f(x)=ln(-3x-1)-ln(1-3x)=ln=ln1+,因为t=1+在-∞,-上单调递减,y=ln t在定义域上单调递增,所以f(x)在-∞,-上单调递减,故D正确.故选D.

17.解:(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,

即a=-1,∴f(x)=log4(-x2+2x+3),

由-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,

∴f(x)的定义域为(-1,3).∵函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,

而y=log4t是定义域上的增函数,

∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).

(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,

∴函数t=ax2+2x+3有最小值1,

∴解得a=.

(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,

∴函数t=ax2+2x+3能够取到大于0的所有实数,

则a=0或∴0≤a≤.