数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时同步达标检测题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　分段函数

1.A　[解析] ∵f(x)=∴f(-1)=1,则f[f(-1)]=f(1)=1+2=3.故选A.

2.C　[解析] f(x)=画出f(x)的图像(图略),可知应选C.

3.A　[解析] 当x0≥1时,f(x0)=2x0-3,则2x0-3=1,解得x0=2;当x0<1时,f(x0)=-2x0-2,则-2x0-2=1,解得x0=3(舍去)或x0=-1.故选A.

4.B　[解析] 由已知得f(2020)=f(2019)-1=f(2018)-2=…=f(0)-2020=0-2020=-2020.故选B.

5.A　[解析] 因为当x≥0时,f(x)=-x2≤0,所以f(m)<0,则解得f(m)≤-5.当m<0时,m2+4m≤-5,无解;当m≥0时,-m2≤-5,解得m≥或m≤-(舍去).综上,m≥.故选A.

6.D　[解析] 在从A地到达B地的过程中,t满足0≤t≤2.5,所求表达式为x=60t;在B地停留1小时,则2.5<t≤3.5,而x=150;在从B地返回A地的过程中,t满足3.5<t≤6.5,所求表达式为x=150-50(t-3.5)=325-50t.故选D.

7.AD　[解析] 当a>0时,-a<0,则f(a)-f(-a)=a2-2a-(-a2+2a)=2a2-4a=2,解得a=1+或a=1-(舍去);当a<0时,-a>0,则f(a)-f(-a)=-a2-2a-(a2+2a)=-2a2-4a=2,解得a=-1;当a=0时,显然不满足题意.故选AD.

8.BC　[解析] 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误.当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1];当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4).因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确.当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去);当-1<x<2时,由x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确.当x≤-1时,由x+2<1,解得x<-1;当-1<x<2时,由x2<1,解得-1<x<1.因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误.故选BC.

9.4　[解析] ∵f(x)=∴f(-1)=(-1)2+1=2,则f[f(-1)]=f(2)=22+2-2=4.

10.4　[解析] 由f(x)=得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1+3=4.

11.(-∞,1]　[解析] 由题意得f(x)=画出函数f(x)的图像如图,由图可得,f(x)的值域是(-∞,1].

12.　[解析] 当a>0时,f(a)=-2a<0,则f[f(a)]=f(-2a)=4a2+1=10,解得a=或a=-(舍去);当a≤0时,f(a)=a2+1>0,则f[f(a)]=f(a2+1)=-2(a2+1)=10,此时方程无解.综上,a=.

13.解:(1)由已知得f(x)=

(2)画出函数f(x)的图像,如图所示.

(3)由图得函数f(x)的值域为(0,2].

14.解:(1)由f(a)=4且a>0得,当0≤a<2时,f(a)=2a+1=4,解得a=;

当a≥2时,f(a)=a2-1=4,解得a=或a=-(舍去).

综上,a=或a=.

(2)由已知得f-=f-+1=f-=f-+1=f=2×+1=2.

15.-1　2　[解析] ∵f(x)=∴f(-3)=-3+2=-1,∴f[f(-3)]=f(-1)=(-1)2+2×(-1)=-1.由f(a)=3,得或或解得a=2.

16.A　[解析] 作出函数f(x)=的图像如图.当x≥0时,f(x)的图像为开口向上的抛物线的一部分,该抛物线的对称轴方程为x=3,f(x)的最小值为32-6×3+6=-3;当x<0时,f(x)的图像为直线y=3x+4的一部分.设x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,则由图可知m∈(-3,4).令3x+4=-3,解得x=-,则x1∈-,0,又x2+x3=3×2=6,所以6-<x1+x2+x3<6,即x1+x2+x3∈,6.故选A.

17.解:(1)当0<x<40时,

L(x)=5×100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500;

当x≥40时,

L(x)=5×100x-501x-+4500-2500=2000-x+.

所以L(x)=

(2)当0<x<40时,L(x)=-10(x-20)2+1500,

所以当x=20时,L(x)max=1500;

当x≥40时,L(x)=2000-x+≤2000-2=2000-120=1880,当且仅当x=,即x=60时,等号成立.

因为1880>1500,所以当x=60,即生产60百辆新能源汽车时,年利润L(x)取得最大值,且最大年利润为1880万元.