高中数学3.2 函数的基本性质第2课时同步训练题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　奇偶性的应用

1.A　[解析] 由题意知f(-x)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-2,所以点(3,-2)一定在函数f(x)的图像上.

2.C　[解析] 设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-3x-1.因为f(x)是偶函数,所以x>0时,f(x)=f(-x)=-3x-1.

3.A　[解析] 设函数g(x)=f(x-2),则g(x)为偶函数,所以g(-4)=g(4),即f(-6)=f(2),所以f(2)=4+=5,解得m=2.

4.D　[解析] ∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,∴f(-1)=1.∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3.

5.B　[解析] 因为函数f(x)=ax2+2a是定义在[a,a+2]上的偶函数,所以a+a+2=0,解得a=-1,则f(x)=-x2-2,所以g(x)=f(x+1)=-(x+1)2-2,函数g(x)的图像开口向下,且对称轴方程为x=-1,所以g->g(0)>g(3).故选B.

6.D　[解析] 由f(x)为奇函数可知,=<0.而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.当x>0时,则f(x)<0=f(1),可得0<x<1;当x<0时,则f(x)>0=f(-1),可得-1<x<0.综上,0<x<1或-1<x<0.故选D.

7.AC　[解析] 因为偶函数的图像关于y轴对称,所以若点(x0,0)是函数f(x)的图像与x轴的交点,则点(-x0,0)一定也是函数f(x)的图像与x轴的交点,当交点个数为3时,有1个交点一定是原点,从而A,C正确.故选AC.

8.BC　[解析] 对于A,设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),所以f(-x)=-x2-2x,又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,即x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x,故A错误;对于B,函数y=-x2+2x的图像开口向下,对称轴方程为x=1,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,又奇函数的图像关于原点对称,所以f(x)在R上为增函数,故B正确;对于C,因为奇函数f(x)在R上为增函数,所以当x∈(0,+∞)时,令f(x)=x2+2x=3,解得x=1或x=-3(舍去),即f(1)=3,所以不等式f(3x-2)<3可转化为f(3x-2)<f(1),所以3x-2<1,解得x<1,所以不等式的解集为(-∞,1),故C正确;对于D,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+2x,则f(x)-x2+x-1=-x2+2x-x2+x-1=-2x2+3x-1=(-2x+1)(x-1)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x,则f(x)-x2+x-1=x2+2x-x2+x-1=3x-1不恒大于0,故D错误.故选BC.

9.f(x)=x+2　[解析] 由题意知f(x)在[-1,0]上的图像为一条线段,且过点(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b,将点(-1,1),(0,2)的坐标代入,解得k=1,b=2,所以当x∈[-1,0]时,f(x)=x+2.

10.-∞,-,,+∞　[解析] 由奇函数的定义知f(-x)=(|-x|-1)(-x+a)=-f(x)=-(|x|-1)(x+a),即-x+a=-x-a,解得a=0,故f(x)=x(|x|-1).当x≥0时,f(x)=x2-x=x-2-,所以f(x)的单调递增区间为,+∞;由奇函数的图像特征可知当x<0时,f(x)的单调递增区间为-∞,-.

11.(-3,3)　[解析] 因为f(x)是偶函数,且f(3)=0,所以 f(-3)=0,由图得当0≤x<3时,f(x)<0.因为函数f(x)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,则当-3<x<0时,f(x)<0,故不等式f(x)<0的解集为(-3,3).

12.①②④　[解析] 对于①,函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),关于原点对称,f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故①正确;对于②,当x∈(2,+∞)时,f(x)===,可知函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,故②正确;对于③,由函数f(x)在(2,+∞)上单调递减知,f(x)在(2,+∞)上的取值范围为(0,+∞),当x∈[0,2)时,f(x)的取值范围为-∞,-,利用偶函数图像的对称性知f(x)的值域为-∞,-∪(0,+∞),故③错误;对于④,由③知,当x∈(-2,2)时,f(x)有最大值-,故④正确.故填①②④.

13.解:(1)因为f(x)为奇函数,且定义域为R,

所以f(0)=b=0,则f(x)=,所以f==,解得a=1,所以f(x)=.

(2)由已知可得,当x∈,2时,f(x)max≤m恒成立.f(x)==,设u(x)=x+,x∈,2,则u(x)=x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以 f(x)max=f(1)=,所以m≥.

14.解:(1)画出f(x)的图像,如图所示.

由图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).

(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=-f(x),

则x>0时,f(x)=-x2+2x,故f(x)=

(3)原不等式可化为或由图可知x∈(-2,0)∪(0,2).

15.C　[解析] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2-2x=f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2+2x=f(x).故函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(-a)+f(a)≤2f(1)等价于2f(a)≤2f(1),即f(|a|)≤f(1),则|a|≤1,解得-1≤a≤1,故选C.

16.D　[解析] 当x<0时,由xf(x)<0得f(x)>0,由函数f(x)的图像可知x∈(-∞,-2)∪(-1,0).由函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,得其图像关于原点对称,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,此时满足xf(x)<0;当x∈(1,2)时,f(x)>0,此时不满足xf(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f(x)<0,此时满足xf(x)<0.综上,不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞).故选D.

17.解:(1)证明:①先证充分性(如果一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数为偶函数).

设函数y=f(x),在函数f(x)图像上任取两点(x,f(x)),(-x,f(-x)).

因为函数f(x)的图像关于y轴对称,所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等,

即f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数.

②再证必要性(如果一个函数是偶函数,那么它的图像关于y轴对称).

设y=f(x)是偶函数,要证明其图像关于y轴对称,即证明其图像上任意一点关于y轴的对称点还在自身图像上.

设P(x,y)为f(x)图像上任意一点,则y=f(x),设P关于y轴的对称点为P'(x',y'),则x'=-x,y'=y,

又函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),

即y=f(x)=f(-x)=y',

所以点P'(x',y')在函数f(x)的图像上.

综上,函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称.

(2)g(x)=(x+1)4-1,设x=a为g(x)的图像的对称轴方程,

由题意知,g(x+a)=(x+1+a)4-1为偶函数.

任取x∈R,则g(x+a)=g(-x+a),

所以(x+1+a)4-1=(-x+1+a)4-1,

所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2]·[ (x+1+a)2-(x-1-a)2]=0,

所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2]·4(1+a)x=0恒成立,

故1+a=0,则a=-1,

所以g(x)的图像的对称轴方程为x=-1.

(3)因为函数y=h(x+2)为偶函数,且y=h(x)在(2,+∞)上单调递减,

所以|m-2|<|1-2m-2|,解得m<-3或m>,

所以m的取值范围为(-∞,-3)∪,+∞.