人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.5.3　函数模型的应用

1.C　[解析] 由本金为100 000(元),一年期存款利率为1.75%,得1年后的本息为100 000(1+1.75%),2年后的本息为100 000(1+1.75%)2,…,10年后的本息为100 000(1+1.75%)10,则到2030年可获得利息约为100 000(1+1.75%)10-100 000≈18 944(元).该计算的实质采用的是指数函数模型.故选C.

2.D　[解析] 由题图知,函数y=log2t能近似刻画y与t之间的关系.故选D.

3.C　[解析] 令y=3t-1=108,则t-1=log3108=8log310,即t=8log310+1=8×+1≈17.77,故该种病毒细胞实验最多进行的天数为17,故选C.

4.D　[解析] 对于A,由图可知当速度大于40 km/h时,乙车的燃油效率大于5 km/L,∴当速度大于40 km/h时,消耗1 L汽油,乙车的行驶距离大于5 km,故A错误;对于B,由图可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1 L汽油,甲车的行驶距离最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗的汽油最少,故B错误;对于C,由图可知当速度为80 km/h时,甲车的燃油效率为10 km/L,即甲车行驶10 km时,耗油1 L,行驶1 h,行驶的路程为80 km,消耗8 L汽油,故C错误;对于D,由图可知当速度小于80 km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴在限速80 km/h的情况下,用丙车比用乙车更省油,故D正确.故选D.

5.B　[解析] 由题意可知,=0.9K,即=e-0.24(t-53),两边同时取对数,得ln=-0.24(t-53),即t=53+≈62.17,故选B.

6.D　[解析] 由题意可知,研发资金的投入成指数型增长,设2020年后的第n年投入的研发资金超过800万,则250(1+13%)n>800,即1.13n>,两边取常用对数得,n>≈9.43,故选D.

7.BCD　[解析] 由题意可得2006年底人类知识总量是a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量是a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量是8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量是213a×25=218a,故D正确.故选BCD.

8.CD　[解析] 该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则得e22k==,所以e11k=,所以k<0,故储存的温度越高保鲜时间越短,该食品在33 ℃的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=3×192=24(小时),该食品在11 ℃的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(小时),故选CD.

9.3800　[解析] 若稿费为4000元,则应纳税(4000-800)×=448(元),设此人的稿费为x元,由题得(x-800)×=420,得x=3800.

10.e6-1　[解析] 当v=12 000时,2000·ln1+=12 000,∴ln1+=6,∴=e6-1.

11.(1)y=2500×(1-20%)x,x∈[0,+∞)　(2)7.2　[解析] 由题知y=2500×(1-20%)x,x∈[0,+∞).令2500×(1-20%)x≥500,即0.8x≥0.2,即x≤log0.80.2,又7.2<log0.80.2<7.3,故再次注射该药的时间不能超过7.2小时.

12.32　[解析] 由题意M=lg A-lg A0=lg,即=10M,则A=A0·10M,当M=7.5时,地震的最大振幅为A1=A0·107.5;当M=6时,地震的最大振幅为A2=A0·106,所以==107.5-6=101.5=1=≈32,故答案为32.

13.解:(1)方法一:列表,得出三种方案所有购买天数的利息,可以精确得出x取任意值时三种方案对应利息的大小关系,为选择最佳方案提供数据支持.

方法二:列表,得出三种方案部分购买天数的利息(或所有购买天数的利息),作出函数图像(散点图),并用虚线连接,对比三个函数图像可以更直观看到三种方案的利息随天数变化的趋势与特征,以及三个图像相互间的位置关系,从而为选择最佳方案提供图像支持.

附:参考列表和图像:

(2)当购买天数为3时,选择方案一最佳;

当购买天数为4时,选择方案一或方案二或方案三最佳;

当购买天数为5或6或7时,选择方案二最佳;

当购买天数为8时,选择方案二或方案三最佳;

当购买天数为9或10时,选择方案三最佳.

14.解:(1)由题意得当0≤t≤0.1时,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比,且函数图像过点(0.1,1),∴y=10t;

当t≥0.1时,函数图像过点(0.1,1),∴1=0.1-a,解得a=0.1,

∴y=t-0.1.故每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为y=

(2)∵药物释放过程中室内药量一直在增加,

即使空气中每立方米的含药量小于0.25 mg,顾客也不能进入商场,

∴只有当药物释放完毕,室内空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时顾客方可进入商场,

即解得t>0.6,

∴至少需要经过0.6 h后,商场才能恢复营业.

15.B　[解析] 当=1000时,C1≈Wlog21000,当=8000时,C2≈Wlog28000,∴≈==≈1.3,∴C大约增加了30%,故选B.

16.ln　[解析] 设P运动到靠近A的三等分点经过的时间为t1,此时Q运动的距离为x1,P运动到中点经过的时间为t2,此时Q运动的距离为x2,∵两点P,Q以相同的初速度运动,点Q的运动速度为107,∴×107=107×,×107=107,∴x1=107lo,x2=107lo,∴t2-t1===lo=ln.

17.解:(1)由题意知,符合公司要求的函数f(x)在[3000,9000]上为增函数, 且对任意x∈[3000,9000],恒有f(x)≥100,f(x)≤.

①对于函数f(x)=0.03x+8,f(3000)=98<100,不符合要求;

②对于函数f(x)=0.8x+200,为减函数,不符合要求;

③对于函数f(x)=100log20x+50,显然f(x)为增函数,且f(3000)=100log203000+50>100,

 因为f(x)≤f(9000)=100log209000+50<100log20160 000+50=450,≥=600,

所以当x∈[3000,9000]时,f(x)max≤min,

所以f(x)≤恒成立.

 因此,f(x)=100log20x+50为满足公司要求的函数模型.

(2)由100log20x+50≥350得log20x≥3,

所以x≥8000, 所以公司的投资收益至少要达到8000万元.