人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时课时作业

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　单调性、最大值与最小值

1.D　[解析] 因为-≤x≤,所以-≤x+≤,所以-≤sinx+≤1,所以-1≤f(x)≤2.故选D.

2.D　[解析] 由函数的最小正周期为π,可排除A,B.函数y=cos2x+=-sin 2x在,上单调递增,排除C,故选D.

3.A　[解析] ∵-1≤cos x≤1,∴y=2cos x-3∈[-5,-1],∴函数y=2cos x-3的值不可能是0.故选A.

4.D　[解析] 由y=sin x-|sin x|=及正弦函数在R上的值域为[-1,1],可得-2≤y≤0,故函数y=sin x-|sin x|的值域是[-2,0].故选D.

5.C　[解析] ∵2cos x->0,∴cos x>,∴-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,故原函数的定义域为-+2kπ,+2kπ,k∈Z.∵y=lg x为增函数,∴原函数的单调性与y=2cos x-的单调性相同,∴原函数的单调递增区间为-+2kπ,2kπ,k∈Z.

6.A　[解析] f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=处取得最小值,则θ=,故f(x)=cosx+.令2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z),解得2kπ-≤x≤2kπ-(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ-(k∈Z),所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为,π,故选A.

7.ACD　[解析] 因为函数y=sin x在,π上单调递减,所以f(x)=sin 2x在,上单调递减,故A中说法错误;因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,故B中说法正确;f(x)的最小正周期为π,故C中说法错误;f(x)的最大值为1,故D中说法错误.故选ACD.

8.BD　[解析] ∵y=sin x在-,0上单调递增,且-<-<-<0,∴sin-<sin-,故A不成立.cos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°),故B成立.∵y=sin x在,π上单调递减,且<2<3<π,∴sin 2>sin 3,故C不成立.sin =-sin ,cos =-cos =-sin-=-sin ,∵0<<<,且y=sin x在0,上单调递增,∴sin <sin ,∴sin >cos ,故D成立.故选BD.

9.-,-π∪0,π∪,2π　[解析] 当x>0时, 由f(x)=cos x>0,x∈[-2π,2π]可得x∈0,π∪,2π;当x<0时,由f(x)<0,x∈[-2π,2π]可得x∈-,-π.故所求不等式的解集为-,-π∪0,π∪,2π.

10.,π　0,　[解析] 由题知f(x)=-sinx-,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,又0≤x≤π,所以0≤x≤,即f(x)的单调递减区间为0,.令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,又0≤x≤π,所以≤x≤π,即f(x)的单调递增区间为,π.故f(x)=sin-x,x∈[0,π]的单调递减区间为0,,单调递增区间为,π.

11.2π　[解析] 如图所示,当x∈[a1,b],即x∈-,时,y∈-1,,此时b-a取得最大值.当x∈[a2,b],即x∈-,时,y∈-1,,此时b-a取得最小值.故所求最大值与最小值之和为(b-a1)+(b-a2)=+=2π.

12.-(答案不唯一)　[解析] 由题意可令kπ-≤x+φ≤kπ+,k∈Z,则kπ-φ-≤x≤kπ+-φ,k∈Z,因为f(x)在区间,上是单调的,所以k∈Z,即kπ-≤φ≤kπ-,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,当k=0时,φ=-.

13.解:(1)∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=-1,

即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最大值5,相应的自变量x的集合为xx=2kπ+,k∈Z;

当sin x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最小值1,相应的自变量x的集合为xx=2kπ+,k∈Z.

(2)∵x∈-,,∴2x-∈-,,∴cos2x-∈-,1,则f(x)∈[-1,],

∴f(x)max=,f(x)min=-1.

14.解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

∵x∈0,,∴f(x)的单调递增区间为0,.

(2)由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,

∴f(x)图像的对称中心为+,0,k∈Z.

由2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,

∴f(x)图像的对称轴为直线x=+,k∈Z.

(3)∵x∈-,,∴2x-∈-,,

∴sin2x-∈-,1,

即f(x)在-,上的取值范围为[-,2].

15.B　[解析] 依题意得,f(x1)是f(x)的最小值,f(x2)是f(x)的最大值,所以|x1-x2|=k+T(T为f(x)的最小正周期,k∈N),所以|x1-x2|min=T=×=2.

16.2　[解析] 令sin x=t,∵0<x<π,∴sin x∈(0,1],即t∈(0,1],∴函数y=可转化为y==1+.当t∈(0,1]时,y=1+单调递减,∴当t=1时,函数y=1+取得最小值2,∴y=(0<x<π)的最小值为2.

17.解:(1)f(x)=-cos2x+2acos x+a2+2=-(cos x-a)2+2a2+2,

当x∈R时,-1≤cos x≤1,

令cos x=t(-1≤t≤1),则f(x)可转化为g(t)=-(t-a)2+2a2+2.

①当a≤-1时,f(x)max=g(-1)=a2-2a+1,f(x)min=g(1)=a2+2a+1,

由题得a2-2a+1=4(a2+2a+1),解得a=-3或a=-(舍去).

②当a≥1时,f(x)max=g(1)=a2+2a+1,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,

由题得a2+2a+1=4(a2-2a+1),解得a=3或a=(舍去).

③当-1<a<0时,f(x)max=g(a)=2a2+2,f(x)min=g(1)=a2+2a+1,

由题得2a2+2=4(a2+2a+1),解得a=-2+或a=-2-(舍去).

④当0≤a<1时,f(x)max=g(a)=2a2+2,f(x)min=g(-1)=a2-2a+1,

由题得2a2+2=4(a2-2a+1),解得a=2-或a=2+(舍去).

综上所述,a的值为-3或3或-2+或2-.

(2)由(1)知,a2-2a+1=(a-1)2≥0,a2+2a+1=(a+1)2≥0,2a2+2>0,

由函数f(x)存在零点,得a=-1或a=1.

①当a=-1时,令f(x)=0,则cos x=1,此时函数f(x)的零点为x=2kπ(k∈Z);

②当a=1时,令f(x)=0,则cos x=-1,此时函数f(x)的零点为x=2kπ+π(k∈Z).