高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时复习练习题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

1.C　[解析] cos2-sin2=cos=.

2.C　[解析] ∵sin α=2sincos=2××-<0,cos α=cos2-sin2=-2-<0,∴α是第三象限角.

3.B　[解析] cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=-.

4.D　[解析] cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D.

5.A　[解析] 由sin α+cos α=,两边平方得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=.∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴cos α-sin α=-,∴cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α)=-.

6.B　[解析] 因为cos2α-=2cos2α--1=-,所以cosα-=±,因为0<α<,所以-<α-<,则cosα-=.

7.D　[解析] 由2sin 2α-cos 2α=1,α∈0,,得2sin 2α=1+cos 2α,cos α>0,所以4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,即sin α=cos α,代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1,故cos2α=.因为cos α>0,所以cos α=.故选D.

8.B　[解析] 由已知可得sin Bsin C=cos2=,即2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,则cos Bcos C+sin Bsin C=1,即cos(B-C)=1.∵-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.故选B.

9.0　[解析] ∵cos 2α=cos2α,∴2cos2α-1=cos2α,即cos2α=1,∴cos α=±1,解得α=2kπ或2kπ+π,k∈Z.故α的值可以为0.

10.-　[解析] 设等腰三角形的底角为α,则α必为锐角,顶角为π-2α.由题意可知,sin α=,∴cos α=,∴tan α=,则tan 2α===,故tan(π-2α)=-tan 2α=-.

11.-　[解析] 由题意得5sin θ=4,即sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.

12.-　[解析] sin2α-=sin2α-+=cos 2α-=1-2sin2α-=-.

13.解:(1)因为tan α==,

所以sin α=cos α.

因为sin2α+cos2α=1,

所以cos2α=,

所以cos 2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).

因为cos(α+β)=-,

所以sin(α+β)==,

所以tan(α+β)=-2.

因为tan α=,

所以tan 2α==-,

所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.

14.解:∵tan 2θ=-2,∴=-2,解得tan θ=或tan θ=-.

又<2θ<π,∴<θ<,

∴tan θ=,∴原式=====-3+2.

15.D　[解析] 对于①,∵tan 60°=tan(21°+39°)==,∴tan 21°+tan 39°=(1-tan 21°tan 39°),即tan 21°+tan 39°+tan 21°tan 39°=,则①符合要求;对于②,∵cos 75°cos 15°-sin 255°sin 165°=cos 75°cos 15°-sin(180°+75°)sin(180°-15°)=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,∴2(cos 75°cos 15°-sin 255°sin 165°)=,则②符合要求;对于③,==3tan(45°-15°)=3tan 30°=,则③符合要求;对于④,=tan=,则④符合要求.故选D.

16.7　[解析] ∵sinx++cosx+=,∴sin x+cos x+cos x-sin x=,∴cos x=.∵x∈(π,2π),∴sin x=-,∴tan x=-,则====7.

17.证明:因为tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,sin 2β=2sin βcos β==,

所以=,

整理得tan α=,

所以tan α+tan β===2tan 2β.