高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时同步达标检测题

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　三角函数公式的应用

1.D　[解析] sin4+cos4=sin2+cos22-2sin2cos2=1-sin2=1-=,故选D.

2.B　[解析] ∵tan α=2,∴==tan α=2,故选B.

3.A　[解析] f(x)=sin xcos x+sin2x=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+.

4.D　[解析] sin2+cos 2A=+2cos2A-1=+2cos2A-1=.

5.B　[解析] 由题意得,b=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°,c=2sin 31°cos 31°=sin 62°,由正弦函数的单调性可得sin 59°<sin 60°<sin 62°,所以a<b<c,故选B.

6.B　[解析] tan(α+β)=,tanβ-=,则tanα+=tan(α+β)-β-===.故选B.

7.D　[解析] sin 2α=>0,不妨设0<2α<π,cos-α=cos α+sin α=sin α+cos α,又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,0<α<,∴sin α+cos α=.

8.C　[解析] 原式====2.

9.π　[解析] y=2cos2x--1=cos2x-=sin 2x,其最小正周期T==π.

10.-2　xx=-+kπ,k∈Z　[解析] y=2cosx+cosx-+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin2x+,所以函数的最小值为-2.令2x+=-+2kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,所以函数取最小值时x的取值集合为xx=-+kπ,k∈Z.

11.　[解析] ∵3+2sin x+2cos x=3+2sinx+≥3-2>0,∴sin x-2cos x=0,则sin x=2cos x,∴(2cos x)2+cos2x=1,可得cos2x=,∴==2cos2x=.

12.　[解析] 由题意得5cos θ-5sin θ=1,θ∈0,,所以cos θ-sin θ=.又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,所以cos θ+sin θ=,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.

13.解:(1)∵f(x)=2sin x·cos x+sin2x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

令2x-=kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,

∴函数f(x)图像的对称中心为kπ+,0,k∈Z.

(2)∵f=,α∈(0,π),

∴2sinα-=,可得sinα-=∈0,,

∵α-∈-,,∴α-∈0,,

可得cosα-==,

∴cos α=cosα-+=cosα-cos-sinα-sin=×-×=.

14.解:(1)连接CO(图略).当C是上的四等分点(靠近点Q)时,∠POC=,

则点C的纵坐标为1×sin=.

(2)设∠COP=θ0<θ<,矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(OB-OA)·BC=cos θ-sin θsin θ=sin θcos θ-sin2θ=sin 2θ+cos 2θ-=sin2θ+-,当θ=时,Smax=-=.

15.A　[解析] 由tan 2α=,即=,得tan α=或tan α=-3.因为对任意的实数x,f(x)=sin(x+α)-sin(x-α)-2sin α=2cos xsin α-2sin α≥0恒成立,所以sin α≤0,又α∈-,,所以α∈-,0,所以tan α=-3,sin α=-,cos α=,所以sinα-=sin αcos-cos αsin=-,故选A.

16.　1　[解析] 2cos2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x+1=sin2x++1,∴A=,b=1.

17.解:(1)由题知FD=8-5.5-1.6=0.9,因为tan∠FCD==,tan∠ECD==,

∠ECF=∠ECD-∠FCD,

所以tan∠ECF=tan(∠ECD-∠FCD)===.

(2)设DM=x(0<x≤5),

则tan∠EMD=,tan∠FMD=.

因为∠EMF=∠EMD-∠FMD,

所以tan∠EMF====≤=,

当且仅当20x=,即x=1.5时,tan∠EMF取得最大值,

所以当DM=1.5 m时,∠EMF最大.