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人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动练习
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动练习，共27页。
（1）理解并记住描述圆周运动的物理量。
（2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。
（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。
【学习重点】
线速度、角速度、周期概念的理解，及其相互关系的理解和应用，匀速圆周运动的特点。
【学习难点】
理解线速度、角速度的物理意义和匀速圆周运动是变速曲线运动的理解。
1.圆周运动
（1）物体沿着圆周的运动叫做圆周运动
（2）如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动
（3）匀速圆周运动的线速度方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。
2.描述圆周运动的物理量
（1）线速度和角速度
（2）周期、频率和转速
①描述圆周运动的各物理量之间的关系
②角速度、周期、转速之间关系的理解：
物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq \f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
③线速度与角速度之间关系的理解：
由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq \f(1,r)；ω一定时，v∝r。如下图所示。
3.eq \a\vs4\al(几种常见的传动装置及其特点)
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．( × )
(2)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变．( √ )
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动．( × )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．( √ )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．( √ )
2.如图所示，转笔深受广大中学生的喜爱．某一时刻，笔绕手指上的某一点O做匀速转动，OA∶OB＝1∶2，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.
答案 1∶2 1∶1
知识点一、描述圆周运动的物理量
1．对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变．
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零．
2．描述圆周运动的物理量及其关系
【经典例题1】(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
答案 ABC
解析 匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误．
【变式训练1】 (多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq \f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq \f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误．
知识点二、圆周运动的传动问题
【经典例题1】(多选)在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
A．角速度之比为2∶1∶2
B．线速度大小之比为1∶1∶2
C．周期之比为1∶2∶2
D．转速之比为1∶2∶2
答案 BD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；
由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；
T＝eq \f(1,n)，故Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，C错误．
【变式训练1】（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3．若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑知三者线速度相同，其半径分别r1、r2、r3，则：ω1r1＝ω2r2＝ω3r3，故ω3=.
A. ，与结论不相符，选项A错误；
B. ，与结论相符，选项B正确；
C. ，与结论不相符，选项C错误；
D. ，与结论不相符，选项D错误；
知识点三、圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量．
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点．
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．
【经典例题1】（河北省邢台市四校2019-2020学年高一（下）期中联考物理试题）7.如图所示，公园的“魔法旋转圆盘”绕过圆心的竖直轴在水平面内匀速转动，一小孩站在圆某处的P点（非圆心）相对圆盘静止。下列说法正确的是（ ）
A. 小孩在P点相对圆盘静止，因此他不受摩擦力作用
B. 若使圆盘以较小的转速（不为零）转动，则小孩在P点受到的摩擦力为零
C. 若小孩随圆盘一起做变速圆周运动，则其所受摩擦力方向不指向圆心
D. 若小孩在距离圆心更近的另一点相对圆盘静止，则小孩受到的摩擦力增大
【答案】C
【解析】
【详解】AB．以小孩为研究对象，受到：重力、支持力和静摩擦力，受力如图所示
小孩相对圆盘静止，与圆盘一起做匀速圆周运动，所需要的向心力在水平面内指向圆心，重力G与支持力FN在竖直方向上，G与FN二力平衡，不可能提供向心力，因此小孩作圆周运动的向心力由静摩擦力f提供。故AB错误；
C．小孩随圆盘一起做变速圆周运动时，向心力只是小孩受到的摩擦力的沿着半径方向的一个分量，所以其所受摩擦力方向不指向圆心，故C正确；
D．根据牛顿第二定律得
转速n增大时，f增大，故D错误。
故选C。
【点睛】本题关键对做圆周运动的物体进行受力分析，明确做匀速圆周运动的物体需要向心力，向心力是效果力，它由物体所受的合外力提供。
【变式训练1】（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）16.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是 ( )
A. 小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B. 小球只受重力和绳的拉力作用
C. θ越大，小球运动速度越大
D. θ越大，小球运动的周期越大
【答案】BC
【解析】
【详解】A、小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，A错误，B正确；
C、向心力大小为：Fn=mgtanθ，小球做圆周运动的半径为R=Lsinθ，则由牛顿第二定律得：mgtanθ=m，得到线速度：v=，θ越大，sinθ、tanθ越大，所以小球运动的速度越大，C正确；
D：小球运动周期：T==2，因此θ越大，越小，小球运动的周期越小，D错误．
一、单项选择题
1.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）1. 关于曲线运动和圆周运动，以下说法中正确的是（ ）
A. 变速运动一定是曲线运动
B. 匀速圆周运动是匀速运动
C. 做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
D. 做圆周运动的物体受到的合外力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】
试题分析：变速运动不一定是曲线运动，也可能是直线运动，选项A错误；匀速圆周运动的速度大小不变，方向不断变化，故匀速圆周运动不是匀速运动，选项B错误；做曲线运动的物体速度不断变化，故有加速度，所受的合外力一定不为零，选项C正确；只有做匀速圆周运动的物体受到的合外力方向才一定指向圆心，选项D错误；故选C．
考点：曲线运动和圆周运动
2.（黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一（下）线上期中物理试题）1.关于圆周运动，下列说法中正确的有
A. 匀速圆周运动是匀变速运动
B. 做圆周运动物体所受的合力始终指向圆心
C. 做匀速圆周运动的物体加速度始终指向圆心
D. 向心力只改变速度的大小，不改变速度的方向
【答案】C
【解析】
【详解】匀速圆周运动的加速度是向心加速度，方向不断改变，是变加速运动；一般的圆周运动所受合力不一定指向圆心，其沿半径方向的合力才是向心力，只改变速度方向，不改变速度大小；沿切线方向的合力是切向力，只改变速度大小，不改变速度方向．故选C.
3.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）3.做匀速圆周运动的物体，下列哪些量是不变的（ ）
A. 线速度B. 角速度C. 向心加速度D. 向心力
【答案】B
【解析】
【详解】在描述匀速圆周运动的物理量中，线速度、向心加速度、向心力这几个物理量都是矢量，虽然其大小不变但是方向在变，因此这些物理量是变化的；所以保持不变的量是角速度，故B正确，ACD错误。
4.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）5.一物体做匀速圆周运动的半径为r，线速度大小为v，角速度为，周期为T．关于这些物理量的关系，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】AD、根据线速度的定义可知 ，故D正确，A错误；
BC、因为，所以 ，故B、C错误；
故选D．
【点睛】关键是知道线速度、角速度定义式和线速度角速度的关系．
5.（河北省邯郸永年县第二中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）3.如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，点和点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）
A. 点与点的线速度大小相等B. 点与点的角速度大小相等
C. 点与点的线速度大小相等D. 点与点的线速度大小相等
【答案】C
【解析】
【详解】左、右两轮通过皮带传动，在皮带不打滑的前提下，、两点的线速度大小相等，、、三点的角速度大小相等，即
由
可得
显然
则
又
则
故ABD错误，C正确。
故选C。
6.（吉林省实验中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）5.如图所示，B 和 C 是一组塔轮，固定在同一转动轴上，其半径之比为 RB∶RC＝3∶2，A 轮半径与 C 轮相同， 且 A 轮与 B 轮紧靠在一起，当 A 轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦的作用，B 轮也随之无滑动地转动起 来．a、b、c 分别为三轮边缘上的三个点，则 a、b、c 三点在运动过程中的（ ）
A. 线速度大小之比为 3∶2∶2
B. 角速度之比为 3∶3∶2
C. 向心加速度大小之比 9∶6∶4
D. 转速之比为 2∶3∶2
【答案】C
【解析】
【详解】轮A、轮B靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故：va：vb=1：1；根据公式v=rω，有：ωa：ωb=3：2；根据ω=2πn，有：na：nb=3：2；根据a=vω，有：aa：ab=3：2；轮B、轮C是共轴传动，角速度相等，故：ωb：ωc=1：1；根据公式v=rω，有：vb：vc=3：2；根据ω=2πn，有：nb：nc=1：1；根据a=vω，有：ab：ac=3：2；综合得到：va：vb：vc=3：3：2；ωa：ωb：ωc=3：2：2；na：nb：nc=3：2：2；aa：ab：ac=9：6：4，故ABD错误，C正确．
7.（吉林省汪清县第六中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）7.如图所示小物块A与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动．下列关于A的受力情况说法正确的是( )
A. 受重力、支持力
B. 受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力
D. 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
【答案】D
【解析】
【详解】物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力
A. 受重力、支持力，与分析结论不符，故A错误．
B. 受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力，与分析结论不符，故B错误．
C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力，与分析结论不符，故C错误．
D. 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力，与分析结论相符，故D正确．
8.（山西省汾阳中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）9.如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用
B. 摆球做圆周运动的向心加速度为gsin θ
C. 摆球做圆周运动的角速度为
D. 摆球做圆周运动的线速度为
【答案】C
【解析】
【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析如图：
小球受重力和绳子的拉力的作用，选项A错误；
BCD．由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，重力和拉力的合力提供向心力，有
解得
选项C正确，BD错误。
故选C。
二、多项选择题
9.（江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2019-2020学年高一（下）期中模拟物理试题）11. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是（ ）
A. 相等的时间里发生的位移相同B. 相等的时间里速度变化相同
C. 相等的时间里通过的路程相等D. 相等的时间里转过的角度相等
【答案】CD
【解析】
【详解】AC．物体做匀速圆周运动，则速率不变，则相等的时间里发生的路程相等，位移大小相同，但是方向不同，选项C正确，A错误；
B．相等的时间里速度变化大小相同，但是方向不同，选项B错误；
D．根据可知，相等的时间里转过的角度相等，选项D正确。
故选CD。
10.（吉林省汪清县第六中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑，则 ( )
A. A点与C点的角速度大小相等
B. A点与C点的线速度大小相等
C. A点与B点角速度大小相等
D. B点与C点的角速度大小之比为1∶2
【答案】BCD
【解析】
【详解】AB.、两点是轮子边缘上的点，靠传送带传动，两点的线速度相等，而半径不等，所以角速度不等，故A错误，B正确；
C.、两点共轴转动，具有相同的角速度，故C正确；
D.、两点线速度相等，根据和可得与的角速度之比为；由于、两点具有相同的角速度，所以点与点的角速度大小之比为，故D正确．
11.（吉林省通化市通化县综合高级中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.如图所示，可视为质点小木块a、b和c 放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为，且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，则下列说法正确的是（ ）
A. b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B. a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C. b和c均未滑落时线速度大小一定相等
D. b开始滑动时的转速是
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】A．b、c所受的最大静摩擦力不相等，故不会同时从水平圆盘上滑落，A错误；
B．当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力
相等，，所以a、c所受的静摩擦力相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；
C．b和c均未滑落时，根据
v=rω
可知线速度大小一定相等，故C正确；
D．以b为研究对象，由牛顿第二定律得
解得，转速，故D错误。
故选BC。
12.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）12.如图所示，质量相等的A、B两个小球悬于同一悬点O，且在O点下方垂直距离h=1m处的同一水平面内做匀速圆周运动，悬线长L1＝3m，L2＝2m，则A、B两小球（ ）
A. 周期之比T1：T2＝2：3B. 角速度之比ω1：ω2＝1：1
C. 线速度之比v1：v2＝：D. 向心加速度之比a1：a2＝8：3
【答案】BC
【解析】
【详解】AB．小球做圆周运动所需要的向心力由重力mg和悬线拉力F的合力提供，设悬线与竖直方向的夹角为θ。对任意一球受力分析，由牛顿第二定律有：
在竖直方向有
Fcsθ-mg=0…①
在水平方向有
…②
由①②得
分析题意可知，连接两小球的悬线的悬点距两小球运动平面的距离为h=Lcsθ，相等，所以周期相等
T1：T2=1：1
角速度
则角速度之比
ω1：ω2=1：1
故A错误，B正确；
C．根据合力提供向心力得
解得
根据几何关系可知
故线速度之比
故C正确；
D．向心加速度a=vω，则向心加速度之比等于线速度之比为
故D错误。
故选BC。
三、计算题
13.（北京市八一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）20. 如图所示，一个绕竖直轴旋转的洗衣机甩干筒，稳定工作时转速n=600r/min（即每分钟转600圈），甩干筒从静止开始加速旋转直到到达稳定工作转速，共用时t=5s，期间转速均匀增加。在加速旋转的这5s内，求：
（1）甩干筒平均每秒转速的增加量b；
（2）甩干筒总共旋转的圈数q。
【答案】（1）2 r/s （2）25 r
【解析】
【详解】（1）甩干筒这5s内转速的增加量
Δn=nt-n0=600 -0=600r/min=10 r/s；
甩干筒平均每秒转速的增加量应等于转速的增加量与时间的比值：
=2 r/s2
即甩干筒平均每秒转速的增加量b为2 r/s
（2）由于转速均匀增加，甩干筒这5s内的平均转速
r/s
这5s内，甩干筒由慢到快总共旋转的圈数，与甩干筒以平均转速匀速旋转的总圈数相等，总圈数
q=t=25 r
14.（江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）24.如图所使用，质量为0.1kg的小物体被长为0.2m的细线拴住，围绕竖直轴在光滑的水平面上匀速圆周运动，周期为0.5s。求：
(1)小物体线速度的大小；
(2)小物体向心加速度的大小；
(3)当细线的拉力是8N时，小物体角速度的大小。
【答案】（1）0.8πm/s；（2）3.2π2m/s2；（3）20rad/s
【解析】
【详解】(1)由得
(2)由得
(3)由得
15.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）20.如图所示，用长为L的细绳拴住一个质量为m的小球，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向成角，求：
(1)小球受到细绳的拉力大小；
(2)小球做匀速圆周运动的线速度；
(3)小球做匀速圆周运动的周期。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）摆球做匀速圆周运动，受重力和拉力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，如图；
细绳受到的拉力大小
（2）根据平行四边形定则知，摆球受到的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得线速度
（3）根据牛顿第二定律得
解得角速度
小球做匀速圆周运动的周期
16.（北京市铁路第二中学2019-2020学年高一（下）5月期中物理试题）22. 如图所示，在以角速度ω＝2 rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m＝5 kg的滑块，滑块离转轴的距离r＝0.2 m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)．求：
(1)滑块运动的线速度大小；
(2)滑块受到静摩擦力的大小和方向．
【答案】(1)0.4 m/s (2)4 N 由所在位置垂直指向转轴
【解析】
【详解】（1）滑块的线速度大小
v=rω
代入数据得
v=0.2×2m/s=0.4m/s
故A正确；
（2）滑块受到静摩擦力提供向心力
f=mω2r
代入数据得
f=5×0.2×22N=4N
方向由所在位置垂直指向转轴
线速度
角速度
意义
描述物体沿切线运动的快慢
描述物体绕圆心转动的快慢
定义
做匀速圆周运动的物体所通过的切线方向与所用时间的比值
做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的弧长与所用时间的比值
公式
方向
某点的线速度方向沿圆弧该点切线方向
有方向
单位
米每秒m/s
弧度每秒rad/s
说明
线速度是物体做圆周运动的瞬时速度
匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动
周期
频率
转速
定义
做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期
做匀速圆周的物体，在1s内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率
做匀速圆周的物体，在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速
公式
单位
秒（s）
赫兹（Hz）
转每秒（r/s）
联系
都是描述物体做圆周运动快慢的物理量
装置
特点
同
轴
转
动
(1)角速度相同，即ωA＝ωB
(2)周期相同，即TA＝TB
(3)线速度与半径成正比，即eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相同
皮
带
传
动
(1)边缘线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)
(3)角速度与半径成反比，即eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相同
齿
轮
传
动
(1)边缘线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)
(3)角速度与半径成反比，即eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相反
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规律
线速度大小与半径成正比：eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(R,r)
（1）理解并记住描述圆周运动的物理量。
（2）学会解匀速圆周运动的运动学问题。
（3）掌握解圆周运动动力学问题的一般方法。
【学习重点】
线速度、角速度、周期概念的理解，及其相互关系的理解和应用，匀速圆周运动的特点。
【学习难点】
理解线速度、角速度的物理意义和匀速圆周运动是变速曲线运动的理解。
1.圆周运动
（1）物体沿着圆周的运动叫做圆周运动
（2）如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动
（3）匀速圆周运动的线速度方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。
2.描述圆周运动的物理量
（1）线速度和角速度
（2）周期、频率和转速
①描述圆周运动的各物理量之间的关系
②角速度、周期、转速之间关系的理解：
物体做匀速圆周运动时，由ω＝eq \f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
③线速度与角速度之间关系的理解：
由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq \f(1,r)；ω一定时，v∝r。如下图所示。
3.eq \a\vs4\al(几种常见的传动装置及其特点)
1．判断下列说法的正误．
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同．( × )
(2)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变．( √ )
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动．( × )
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变．( √ )
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．( √ )
2.如图所示，转笔深受广大中学生的喜爱．某一时刻，笔绕手指上的某一点O做匀速转动，OA∶OB＝1∶2，设A、B线速度大小分别为vA和vB，角速度大小分别为ωA和ωB，则vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.
答案 1∶2 1∶1
知识点一、描述圆周运动的物理量
1．对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化．
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变．
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零．
2．描述圆周运动的物理量及其关系
【经典例题1】(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
答案 ABC
解析 匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误．
【变式训练1】 (多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A．它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
答案 BC
解析 A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝eq \f(Δθ,Δt)得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝eq \f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速是单位时间内物体转过的圈数，即n＝eq \f(1,T)，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误．
知识点二、圆周运动的传动问题
【经典例题1】(多选)在如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
A．角速度之比为2∶1∶2
B．线速度大小之比为1∶1∶2
C．周期之比为1∶2∶2
D．转速之比为1∶2∶2
答案 BD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等；B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：va＝vb
由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：ωb＝ωc
由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A错误，B正确；
由ω＝2πn知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D正确；
T＝eq \f(1,n)，故Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，C错误．
【变式训练1】（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3．若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑知三者线速度相同，其半径分别r1、r2、r3，则：ω1r1＝ω2r2＝ω3r3，故ω3=.
A. ，与结论不相符，选项A错误；
B. ，与结论相符，选项B正确；
C. ，与结论不相符，选项C错误；
D. ，与结论不相符，选项D错误；
知识点三、圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量．
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点．
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．
【经典例题1】（河北省邢台市四校2019-2020学年高一（下）期中联考物理试题）7.如图所示，公园的“魔法旋转圆盘”绕过圆心的竖直轴在水平面内匀速转动，一小孩站在圆某处的P点（非圆心）相对圆盘静止。下列说法正确的是（ ）
A. 小孩在P点相对圆盘静止，因此他不受摩擦力作用
B. 若使圆盘以较小的转速（不为零）转动，则小孩在P点受到的摩擦力为零
C. 若小孩随圆盘一起做变速圆周运动，则其所受摩擦力方向不指向圆心
D. 若小孩在距离圆心更近的另一点相对圆盘静止，则小孩受到的摩擦力增大
【答案】C
【解析】
【详解】AB．以小孩为研究对象，受到：重力、支持力和静摩擦力，受力如图所示
小孩相对圆盘静止，与圆盘一起做匀速圆周运动，所需要的向心力在水平面内指向圆心，重力G与支持力FN在竖直方向上，G与FN二力平衡，不可能提供向心力，因此小孩作圆周运动的向心力由静摩擦力f提供。故AB错误；
C．小孩随圆盘一起做变速圆周运动时，向心力只是小孩受到的摩擦力的沿着半径方向的一个分量，所以其所受摩擦力方向不指向圆心，故C正确；
D．根据牛顿第二定律得
转速n增大时，f增大，故D错误。
故选C。
【点睛】本题关键对做圆周运动的物体进行受力分析，明确做匀速圆周运动的物体需要向心力，向心力是效果力，它由物体所受的合外力提供。
【变式训练1】（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）16.如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是 ( )
A. 小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B. 小球只受重力和绳的拉力作用
C. θ越大，小球运动速度越大
D. θ越大，小球运动的周期越大
【答案】BC
【解析】
【详解】A、小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，A错误，B正确；
C、向心力大小为：Fn=mgtanθ，小球做圆周运动的半径为R=Lsinθ，则由牛顿第二定律得：mgtanθ=m，得到线速度：v=，θ越大，sinθ、tanθ越大，所以小球运动的速度越大，C正确；
D：小球运动周期：T==2，因此θ越大，越小，小球运动的周期越小，D错误．
一、单项选择题
1.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）1. 关于曲线运动和圆周运动，以下说法中正确的是（ ）
A. 变速运动一定是曲线运动
B. 匀速圆周运动是匀速运动
C. 做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
D. 做圆周运动的物体受到的合外力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】
试题分析：变速运动不一定是曲线运动，也可能是直线运动，选项A错误；匀速圆周运动的速度大小不变，方向不断变化，故匀速圆周运动不是匀速运动，选项B错误；做曲线运动的物体速度不断变化，故有加速度，所受的合外力一定不为零，选项C正确；只有做匀速圆周运动的物体受到的合外力方向才一定指向圆心，选项D错误；故选C．
考点：曲线运动和圆周运动
2.（黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一（下）线上期中物理试题）1.关于圆周运动，下列说法中正确的有
A. 匀速圆周运动是匀变速运动
B. 做圆周运动物体所受的合力始终指向圆心
C. 做匀速圆周运动的物体加速度始终指向圆心
D. 向心力只改变速度的大小，不改变速度的方向
【答案】C
【解析】
【详解】匀速圆周运动的加速度是向心加速度，方向不断改变，是变加速运动；一般的圆周运动所受合力不一定指向圆心，其沿半径方向的合力才是向心力，只改变速度方向，不改变速度大小；沿切线方向的合力是切向力，只改变速度大小，不改变速度方向．故选C.
3.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）3.做匀速圆周运动的物体，下列哪些量是不变的（ ）
A. 线速度B. 角速度C. 向心加速度D. 向心力
【答案】B
【解析】
【详解】在描述匀速圆周运动的物理量中，线速度、向心加速度、向心力这几个物理量都是矢量，虽然其大小不变但是方向在变，因此这些物理量是变化的；所以保持不变的量是角速度，故B正确，ACD错误。
4.（北京市北师大二附中2019-2020学年高一（下）期中物理试题）5.一物体做匀速圆周运动的半径为r，线速度大小为v，角速度为，周期为T．关于这些物理量的关系，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】AD、根据线速度的定义可知 ，故D正确，A错误；
BC、因为，所以 ，故B、C错误；
故选D．
【点睛】关键是知道线速度、角速度定义式和线速度角速度的关系．
5.（河北省邯郸永年县第二中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）3.如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，点和点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）
A. 点与点的线速度大小相等B. 点与点的角速度大小相等
C. 点与点的线速度大小相等D. 点与点的线速度大小相等
【答案】C
【解析】
【详解】左、右两轮通过皮带传动，在皮带不打滑的前提下，、两点的线速度大小相等，、、三点的角速度大小相等，即
由
可得
显然
则
又
则
故ABD错误，C正确。
故选C。
6.（吉林省实验中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）5.如图所示，B 和 C 是一组塔轮，固定在同一转动轴上，其半径之比为 RB∶RC＝3∶2，A 轮半径与 C 轮相同， 且 A 轮与 B 轮紧靠在一起，当 A 轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦的作用，B 轮也随之无滑动地转动起 来．a、b、c 分别为三轮边缘上的三个点，则 a、b、c 三点在运动过程中的（ ）
A. 线速度大小之比为 3∶2∶2
B. 角速度之比为 3∶3∶2
C. 向心加速度大小之比 9∶6∶4
D. 转速之比为 2∶3∶2
【答案】C
【解析】
【详解】轮A、轮B靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故：va：vb=1：1；根据公式v=rω，有：ωa：ωb=3：2；根据ω=2πn，有：na：nb=3：2；根据a=vω，有：aa：ab=3：2；轮B、轮C是共轴传动，角速度相等，故：ωb：ωc=1：1；根据公式v=rω，有：vb：vc=3：2；根据ω=2πn，有：nb：nc=1：1；根据a=vω，有：ab：ac=3：2；综合得到：va：vb：vc=3：3：2；ωa：ωb：ωc=3：2：2；na：nb：nc=3：2：2；aa：ab：ac=9：6：4，故ABD错误，C正确．
7.（吉林省汪清县第六中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）7.如图所示小物块A与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动．下列关于A的受力情况说法正确的是( )
A. 受重力、支持力
B. 受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力
D. 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
【答案】D
【解析】
【详解】物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力
A. 受重力、支持力，与分析结论不符，故A错误．
B. 受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力，与分析结论不符，故B错误．
C. 受重力、支持力、摩擦力和向心力，与分析结论不符，故C错误．
D. 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力，与分析结论相符，故D正确．
8.（山西省汾阳中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）9.如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摆球受重力、拉力和向心力的作用
B. 摆球做圆周运动的向心加速度为gsin θ
C. 摆球做圆周运动的角速度为
D. 摆球做圆周运动的线速度为
【答案】C
【解析】
【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析如图：
小球受重力和绳子的拉力的作用，选项A错误；
BCD．由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，重力和拉力的合力提供向心力，有
解得
选项C正确，BD错误。
故选C。
二、多项选择题
9.（江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2019-2020学年高一（下）期中模拟物理试题）11. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是（ ）
A. 相等的时间里发生的位移相同B. 相等的时间里速度变化相同
C. 相等的时间里通过的路程相等D. 相等的时间里转过的角度相等
【答案】CD
【解析】
【详解】AC．物体做匀速圆周运动，则速率不变，则相等的时间里发生的路程相等，位移大小相同，但是方向不同，选项C正确，A错误；
B．相等的时间里速度变化大小相同，但是方向不同，选项B错误；
D．根据可知，相等的时间里转过的角度相等，选项D正确。
故选CD。
10.（吉林省汪清县第六中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑，则 ( )
A. A点与C点的角速度大小相等
B. A点与C点的线速度大小相等
C. A点与B点角速度大小相等
D. B点与C点的角速度大小之比为1∶2
【答案】BCD
【解析】
【详解】AB.、两点是轮子边缘上的点，靠传送带传动，两点的线速度相等，而半径不等，所以角速度不等，故A错误，B正确；
C.、两点共轴转动，具有相同的角速度，故C正确；
D.、两点线速度相等，根据和可得与的角速度之比为；由于、两点具有相同的角速度，所以点与点的角速度大小之比为，故D正确．
11.（吉林省通化市通化县综合高级中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）11.如图所示，可视为质点小木块a、b和c 放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为，且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，则下列说法正确的是（ ）
A. b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B. a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C. b和c均未滑落时线速度大小一定相等
D. b开始滑动时的转速是
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】A．b、c所受的最大静摩擦力不相等，故不会同时从水平圆盘上滑落，A错误；
B．当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力
相等，，所以a、c所受的静摩擦力相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；
C．b和c均未滑落时，根据
v=rω
可知线速度大小一定相等，故C正确；
D．以b为研究对象，由牛顿第二定律得
解得，转速，故D错误。
故选BC。
12.（内蒙古赤峰市林东第一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）12.如图所示，质量相等的A、B两个小球悬于同一悬点O，且在O点下方垂直距离h=1m处的同一水平面内做匀速圆周运动，悬线长L1＝3m，L2＝2m，则A、B两小球（ ）
A. 周期之比T1：T2＝2：3B. 角速度之比ω1：ω2＝1：1
C. 线速度之比v1：v2＝：D. 向心加速度之比a1：a2＝8：3
【答案】BC
【解析】
【详解】AB．小球做圆周运动所需要的向心力由重力mg和悬线拉力F的合力提供，设悬线与竖直方向的夹角为θ。对任意一球受力分析，由牛顿第二定律有：
在竖直方向有
Fcsθ-mg=0…①
在水平方向有
…②
由①②得
分析题意可知，连接两小球的悬线的悬点距两小球运动平面的距离为h=Lcsθ，相等，所以周期相等
T1：T2=1：1
角速度
则角速度之比
ω1：ω2=1：1
故A错误，B正确；
C．根据合力提供向心力得
解得
根据几何关系可知
故线速度之比
故C正确；
D．向心加速度a=vω，则向心加速度之比等于线速度之比为
故D错误。
故选BC。
三、计算题
13.（北京市八一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）20. 如图所示，一个绕竖直轴旋转的洗衣机甩干筒，稳定工作时转速n=600r/min（即每分钟转600圈），甩干筒从静止开始加速旋转直到到达稳定工作转速，共用时t=5s，期间转速均匀增加。在加速旋转的这5s内，求：
（1）甩干筒平均每秒转速的增加量b；
（2）甩干筒总共旋转的圈数q。
【答案】（1）2 r/s （2）25 r
【解析】
【详解】（1）甩干筒这5s内转速的增加量
Δn=nt-n0=600 -0=600r/min=10 r/s；
甩干筒平均每秒转速的增加量应等于转速的增加量与时间的比值：
=2 r/s2
即甩干筒平均每秒转速的增加量b为2 r/s
（2）由于转速均匀增加，甩干筒这5s内的平均转速
r/s
这5s内，甩干筒由慢到快总共旋转的圈数，与甩干筒以平均转速匀速旋转的总圈数相等，总圈数
q=t=25 r
14.（江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）24.如图所使用，质量为0.1kg的小物体被长为0.2m的细线拴住，围绕竖直轴在光滑的水平面上匀速圆周运动，周期为0.5s。求：
(1)小物体线速度的大小；
(2)小物体向心加速度的大小；
(3)当细线的拉力是8N时，小物体角速度的大小。
【答案】（1）0.8πm/s；（2）3.2π2m/s2；（3）20rad/s
【解析】
【详解】(1)由得
(2)由得
(3)由得
15.（北京市第五十中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题）20.如图所示，用长为L的细绳拴住一个质量为m的小球，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向成角，求：
(1)小球受到细绳的拉力大小；
(2)小球做匀速圆周运动的线速度；
(3)小球做匀速圆周运动的周期。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）摆球做匀速圆周运动，受重力和拉力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，如图；
细绳受到的拉力大小
（2）根据平行四边形定则知，摆球受到的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得线速度
（3）根据牛顿第二定律得
解得角速度
小球做匀速圆周运动的周期
16.（北京市铁路第二中学2019-2020学年高一（下）5月期中物理试题）22. 如图所示，在以角速度ω＝2 rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m＝5 kg的滑块，滑块离转轴的距离r＝0.2 m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)．求：
(1)滑块运动的线速度大小；
(2)滑块受到静摩擦力的大小和方向．
【答案】(1)0.4 m/s (2)4 N 由所在位置垂直指向转轴
【解析】
【详解】（1）滑块的线速度大小
v=rω
代入数据得
v=0.2×2m/s=0.4m/s
故A正确；
（2）滑块受到静摩擦力提供向心力
f=mω2r
代入数据得
f=5×0.2×22N=4N
方向由所在位置垂直指向转轴
线速度
角速度
意义
描述物体沿切线运动的快慢
描述物体绕圆心转动的快慢
定义
做匀速圆周运动的物体所通过的切线方向与所用时间的比值
做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的弧长与所用时间的比值
公式
方向
某点的线速度方向沿圆弧该点切线方向
有方向
单位
米每秒m/s
弧度每秒rad/s
说明
线速度是物体做圆周运动的瞬时速度
匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动
周期
频率
转速
定义
做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期
做匀速圆周的物体，在1s内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率
做匀速圆周的物体，在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速
公式
单位
秒（s）
赫兹（Hz）
转每秒（r/s）
联系
都是描述物体做圆周运动快慢的物理量
装置
特点
同
轴
转
动
(1)角速度相同，即ωA＝ωB
(2)周期相同，即TA＝TB
(3)线速度与半径成正比，即eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相同
皮
带
传
动
(1)边缘线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)
(3)角速度与半径成反比，即eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相同
齿
轮
传
动
(1)边缘线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)
(3)角速度与半径成反比，即eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
(4)转动方向相反
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
角速度、周期相同
线速度大小相等
线速度大小相等
规律
线速度大小与半径成正比：eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
角速度与半径成反比：eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(R,r)
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