人教版 (2019)必修 第二册3 动能和动能定理课时训练

8.3　动能和动能定理

【学习目标】

1．理解动能的概念

2．知道动能的定义式，会用动能的定义式进行计算

3．理解动能定理及其推导过程，知道动能定理的适用范围

【学习重点】

1．动能的概念

2．动能定理及其应用

【学习难点】

对动能定理的理解

知识点一、动能的表达式

1.动能:物体由于运动而具有的能

2.表达式：Ek=mv2，其中v是瞬时速度   单位：焦耳

3.特点

(1)具有瞬时性，是状态量，与某一时刻(或位置)相对应。

(2)具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，一般是指相对于地面的动能。

(3)矢标性：是标量，没有方向，Ek≥0。

4.动能的变化量

（1）末状态的动能与初状态的动能之差，即。

（2）动能只有正值，没有负值，但动能的变化量却有正有负。

（3）动能的变化量是过程量，△Ek＞0，表示物体的动能增加；△Ek＜0，表示物体的动能减少。

知识点二、动能定理

1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2.表达式：

（1）表示物体的末动能

（2）表示物体的初动能

（3）W表示物体所受合力做的功，或者物体所受所有外力对物体做功的代数和。

3.适用范围

（1）动能定理既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。

（2）动能定理及适用于直线运动，也适用于曲线运动

1．判断下列说法的正误．

(1)某物体的速度加倍，它的动能也加倍．(　×　)

(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同．(　×　)

(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．(　√　)

(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零．(　×　)

(5)物体的动能增加，合外力做正功．(　√　)

2.如图所示，质量为m的物块在水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则重力做功为______，恒力F做功为________，物块的末动能为________，物块克服摩擦力做功为________．

答案　－mgh　Fx　mv2　Fx－mgh－mv2

知识点一、动能和动能定理

1．动能概念的理解

(1)动能的表达式Ek＝mv2.

(2)动能是标量，没有负值．

(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应．

(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．

2．动能定理

(1)在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化．

(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因．

①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；

②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；

③如果合力对物体不做功，则动能不变．

(3)物体动能的改变可由合外力做功来度量．

【经典例题1】(多选)关于对动能的理解，下列说法正确的是(　　)

A．凡是运动的物体都具有动能

B．动能像重力势能一样有正负

C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

答案　AC

解析　运动的物体都有动能，A正确；动能是标量，没有正负之分，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如匀速圆周运动，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误．

【变式训练1】(多选)在下列几种情况中，甲、乙两物体的动能相等的是(　　)

A．甲的速度是乙的2倍，乙的质量是甲的2倍

B．甲的质量是乙的2倍，乙的速度是甲的2倍

C．甲的质量是乙的4倍，乙的速度是甲的2倍

D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动

答案　CD

解析　动能是状态量，是标量，没有方向，根据动能的表达式Ek＝mv2可知，如果甲的速度是乙的两倍，若甲、乙两物体动能相等，则甲的质量应为乙的，故A错误；同理可判断B错误，C正确；因动能是标量，没有方向，所以只要二者速度大小相等，二者的动能就相等，故D对．

知识点二、动能定理的简单应用

应用动能定理解题的一般步骤：

(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．

(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．

(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.

(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．

【经典例题1】如图 所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

答案　3.5 m

解析　对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示

方法一　分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段

FN1＝mgcos 37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°

由动能定理得：

mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0

设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg

由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2

联立以上各式可得l2＝3.5 m.

方法二　对全过程由动能定理列方程：

mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0

解得：l2＝3.5 m.

【变式训练1】光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为(　　)

A．1∶2   B．1∶3

C．3∶1   D．1∶4

答案　B

解析　根据动能定理得，第一段过程：W1＝mv2；第二段过程：W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，解得：W1∶W2＝1∶3，B正确．

一、单项选择题

1.如图所示，塔吊用钢绳沿竖直方向将质量为 m 的建材以加速度 a 匀加速向上提起 h 高， 已知重力加速度为 g，则在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A. 建材重力做功为- mah B. 建材的重力势能减少了mgh

C. 建材所受的合外力做功为mgh D. 建材所受钢绳拉力做功为m(a  g)h

【答案】D

【解析】

【详解】A． 建筑材料向上做匀加速运动，上升的高度为h，重力做功：W=-mgh，故A错误；

B． 物体的重力势能变化量为

则建材的重力势能增加了mgh，故B错误；

C． 建材所受的合外力为ma，合外力做功为mah，故C错误；

D． 建材所受钢绳拉力，根据牛顿第二定律可知

建材所受钢绳拉力做功为m(a  g)h，故D正确。

故选D。

2.按压式圆珠笔内装有一根小弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出来。如图所示，使笔的尾部朝下，将笔向下按到最低点，使小帽缩进，然后放手，笔将向上弹起至一定的高度。忽略摩擦和空气阻力。笔从最低点运动至最高点的过程中

A. 笔的动能一直增大

B. 笔的重力势能与弹簧的弹性势能总和一直减小

C. 弹簧的弹性势能减少量等于笔的动能增加量

D. 弹簧的弹性势能减少量等于笔的重力势能增加量

【答案】D

【解析】

【详解】开始时弹力大于笔的重力，则笔向上做加速运动；当弹力等于重力时加速度为零，速度最大；然后弹力小于重力，笔向上做减速运动，当笔离开桌面时将做竖直上抛运动，直到速度减为零到达最高点；

A．笔的动能先增大后减小，选项A错误；

B．因只有弹力和重力做功，则笔的重力势能、动能和弹簧的弹性势能守恒；因动能先增加后减小，则笔的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增加，选项B错误；

CD．因整个过程中动能不变，则弹簧的弹性势能减少量等于笔的重力势能的增加量，选项C错误，D正确；

故选D.

3.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示，将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点(   )

A. P球的速度一定大于Q球的速度

B. P球的动能一定小于Q球的动能

C. P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力

D. P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度

【答案】C

【解析】

从静止释放至最低点，由机械能守恒得：mgR=mv2，解得：，在最低点的速度只与半径有关，可知vP＜vQ；动能与质量和半径有关，由于P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短，所以不能比较动能的大小．故AB错误；在最低点，拉力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：F-mg=m，解得，F=mg+m=3mg，，所以P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力，向心加速度两者相等．故C正确，D错误．故选C．

点睛：求最低的速度、动能时，也可以使用动能定理求解；在比较一个物理量时，应该找出影响它的所有因素，全面的分析才能正确的解题．

4.如图所示，物体A、B质量相等，它们与水平面间的动摩擦因数也相等，且作用力FA=FB，若A、B由静止开始在水平面上运动相同距离的过程中，则（　　）

A. 所用的时间相等

B. FA对A做的功小于FB对B做的功

C. FA对A做功功率大于FB对B做功的功率

D. 物体A获得的动能小于物体B获得的动能

【答案】C

【解析】

【详解】ABC．由图可知，A物体对地面压力小于B物体对地面的压力，则A所受的摩擦力小于B所受的摩擦力，根据牛顿第二定律可知，A的加速度大于B的加速度，根据

可知

由功的表达式

可知，和做功相等，即

又因为

可知

故AB错误，C正确；

D．由静止开始运动相同距离的过程，对A做的功与对B做的功相等，地面对B速度摩擦力较大，B克服摩擦力做的功较多，根据动能定理可知B获得的动能更少，故D错误。

故选C。

5.如图所示，重20N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧。滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab=0.8m，bc=0.4m，g取10m/s2。在整个过程中叙述不正确的是（　　）

A. 滑块动能的最大值是12J B. 弹簧弹性势能的最大值是12J

C. 从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是12J D. 滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒

【答案】A

【解析】

【详解】D．从a点到c点过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，因此滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒，D正确；

B．从a点到c点过程中减小的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，因此弹性势能的最大值为

B正确；

C．弹簧对物做的功等于弹簧减少的弹性势能，从c到b过程中，弹簧恢复原长，弹簧的弹力对滑块做的功是12J    ，C正确；

A．当重力沿斜面的分力和弹簧的弹力相等时物体的速度最大，动能最大，设此点为d，则从a点到d点过程中，重力做正功，弹簧的弹力做负功，合力做的功小于12J，根据动能定理。滑块动能的最大值小于12J，A错误。

故不正确的选A。

6.如图所示，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】以均匀柔软细绳MQ段为研究对象，其质量为。取M点所在的水平面为零势能面，开始时，细绳MQ段的重力势能

当用外力将绳下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点时，

细绳MQ段的重力势能

则外力做的功即克服重力做的功等于细绳MQ段的重力势能的变化，

即

故BCD错误，A正确。

故选A。

7.关于做功和物体动能变化的关系，正确的是(　　)

A. 只要动力对物体做功，物体的动能就增加

B. 只要物体克服阻力做功，它的动能就减少

C. 外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差

D. 动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化

【答案】C

【解析】

【详解】根据动能定理的内容：合外力所做的总功等于物体动能的变化，要看所有力做的总功之和才能判断动能变不变。

故选Ｃ。

8.质量之比为2:1的甲、乙两辆汽车，在平直路面上匀速行驶的速度之比为1:3，若两车在相同的制动力作用下逐渐停止，则甲乙两辆汽车刹车距离之比为（　　）

A. 2:3 B. 4:9

C. 1:3 D. 2:9

【答案】D

【解析】

【详解】对乙车，由动能定理得

解得

因两车在相同的制动力作用下逐渐停止，则对甲车有

解得

代入解得

故ABC错误，D正确

故选D。

二、多项选择题

9.小球在空中P点，以初速度v0竖直下抛，经一段时间后，正好落在下端固定于地面竖直放置的轻弹簧上，把弹簧压缩后又被弹起，则下面说法正确的是（　　）

A. 小球落到轻弹簧上后，立即做减速运动，动能不断减小

B. 当小球所受合外力为零时，小球的动能最大

C. 当小球所受合外力为零时，弹簧形变最大

D. 小球被反弹后，所能达到的最高点不再是P点

【答案】BD

【解析】

【详解】A．小球落到轻弹簧上后，开始时弹力小于重力，做加速运动，后来当弹力大于重力时做减速运动，则动能先增加后减小，选项A错误；

B．当小球所受重力等于弹力时，此时小球受合外力为零，此时加速度为零，速度最大，此时小球的动能最大，选项B正确；

C．当小球所受合外力为零时重力等于弹力，小球还会向下运动继续压缩弹簧，此时弹簧形变不是最大，选项C错误；

D．由于开始时小球在P点有竖直初速度v0，则小球被反弹后所能达到的最高点将高于P点，选项D正确。

故选BD。

10.一个质量为2kg的可视为质点的小球，以2m/s的速率做匀速圆周运动，轨迹半径为1m，则下列结论正确的是（　　）

A. 小球所受的合力大小为8N

B. 小球所受合力的功率为16W

C. 小球的动能为4J

D. 在小球转动半圈的过程中，小球所受合力做的功为8πJ

【答案】AC

【解析】

【详解】A．小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力为

代入数据解得F=8N，故A正确；

B．因合力的方向一直与速度方向垂直，故合力的功率为零，故B错误；

C．根据

代入数据解得，故C正确；

D．在小球转动半圈的过程中，速度的大小不变，故动能的改变量为零，根据动能定理可知，合外力做功为零，故D错误。

故选AC。

11.如图所示,质量为m的小车在水平恒力F推动下,从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B,获得速度为v, A、B之间的水平距离为x,重力加速度为g．下列说法正确的是(    )

A. 小车克服重力所做的功是mgh

B. 合外力对小车做的功是

C. 阻力对小车做的功是

D. 推力对小车做功是

【答案】ABC

【解析】

【分析】

重力做功只与物体的初末位移的高度差有关，与其它因素没有关系，WG=mg△h，合外力对物体所做的功可根据动能定理求解．

【详解】A项：小车克服重为做功：W=Gh=mgh，故A正确；

B项：由动能定理，小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，即

，故B正确；

C、D项：由动能定理，，而推力做的功为：，所以

，故C正确，D错误．

【点睛】本题主要考察了求力做功的几种方法，恒力做功可根据做功公式直接计算，变力和合外力对物体做的功可根据动能定理求解．

12.跳水运动员从高H的跳台以速度v1水平跳出，落水时速度为v2，运动员质量为m，若起跳时，运动员所做的功为W1 , 在空气中克服阻力所做的功为W2 ,则

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

试题分析：起跳过程由动能定理可知，A正确，B错误；起跳后至落水前由动能定理可知，整理可得，C正确，D错误．

考点：本题考查了多过程应用动能定理问题．

三、计算题

13.如图所示，用10N的力F使一个质量为1kg物体由静止开始沿水平地面移动了3m，使从A点到达B点（图中未标出），力F跟物体前进的方向的夹角为=37°，物体与地面间的动摩因数为μ=0.5，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

(1)拉力F对物体做功W的大小；

(2)最后物体获得的动能Ek；

(3)到达B点时拉力F瞬时功率。

【答案】(1) 24J；(2) 18J ；(3)48W。

【解析】

【详解】(1)拉力F物体做功W大小为：

W=Fxcosα=10×3×0.8 J=24J

(2) 摩擦力的大小为：

f=μFN=μ（mg-Fsinα）=0.5×（10-10×0.6）N=2N

由动能定理得：

Ek=W-fx=18J

(3)则最后的速度为v，则有：

解得：

v=6m/s

拉力的瞬时功率为：

P=Fcos37°•v=48W

14.在赛车场上，安全起见，车道外围都固定上废旧轮胎作为围栏，当车碰撞围栏时起缓冲器作用，如图甲所示。在一次模拟实验中用弹簧来代替废旧轮胎，实验情景如图乙所示，水平放置的轻弹簧左侧固定于墙上，处于自然状态，开始时赛车在A处且处于静止状态，距弹簧自由端的距离为。当赛车启动时，产生水平向左的恒为F=24N的牵引力使赛车向左匀加速前进，当赛车接触弹簧的瞬间立即关闭发动机，赛车继续压缩弹簧，最后被弹回到B处停下。已知赛车的质量为m=2kg，A、B之间的距离为L2=3m，赛车被弹回的过程中离开弹簧时的速度大小为v=4m/s，方向水平向右。g取10m/s2。

(1)赛车和地面间的动摩擦因数；

(2)弹簧被压缩的最大距离是多少？试从加速度和速度变化的角度分析赛车关闭发动机后的运动性质；

(3)试分析赛车速度过大时，存在什么安全隐患。

【答案】(1) 0.2；(2)见解析；(3) 见解析。

【解析】

【详解】(1) 从赛车离开弹簧到B点静止，由动能定理得：

解得

μ=0.2

(2) 设弹簧被压缩的最大距离为L，从赛车加速到离开弹簧，由动能定理得：

解得：

L=0.5m

关闭发动机后，压缩弹簧到最大距离过程中，弹力与摩擦力方向相同，赛车减速，且加速度逐渐增大，做加速度增大的减速，当赛车被向右弹回，到达弹力与摩擦力相等之前，赛车加速度逐渐减小，速度增大，在弹力与摩擦力相等到脱离弹簧，赛车加速度增大，速度减小，脱离弹簧后，赛车匀减速到零。

(3)赛车速度过大，初速度过大，可能会冲出跑道，造成危险。

15.力是改变物体运动状态的原因，力能产生加速度。力在空间上的积累使物体动能发生变化；如图所示，质量为 m 的物块，在水平合外力F的作用下做匀变速直线运动，速度由v0变化到v时，发生的位移为x。请根据牛顿第二定律和相关规律，推导动能定理。

【答案】见解析.

【解析】

【详解】根据牛顿第二定律

F=ma

由匀变速运动规律可得

v2−v02=2ax

消掉a可得动能定理的表达式

16.物体以60J初动能，从A点出发沿斜面向上滑动，在它上升到某一高度时，动能损失了50J，而机械能损失了10J，则该物体滑到原处A时的动能是多少？

【答案】

【解析】

【详解】物体从A点上升到某一高度时，由动能定理得

由功能关系得

解得

，

物体从某一高度处上滑到最高点，动能减小，由动能定理得

又

解得

所以，上升过程中物体克服摩擦力做的功为，一上一下，全过程中物体克服摩擦力做的功为，在物体运动的全过程中由动能定理得

物体运动至出发点A时的动能为