物理4 机械能守恒定律练习

8.4 机械能守恒定律

【学习目标】

1．正确理解机械能及机械能守恒定律的内容。

2．能判断物体的机械能是否守恒。

3．掌握利用机械能守恒定律解题的基本方法。

【学习重点】

1．掌握机械能守恒定律的推导、建立过程、理解什么是机械能守恒定律。

2．在具体的问题中判定机械能是否守恒，学会用数学表达式表示机械能守恒。

【学习难点】

1．从能量转化和功能关系出发理解机械能守恒具体需要什么条件。

2．正确判断研究对象在物理过程中的机械能是否守恒，正确分析整个系统所具有的机械能

知识点一、动能与势能的相互转化

1．重力势能与动能

只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。

2．弹性势能与动能

只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能能转化为动能。

3．机械能

(1)定义：重力势能、弹性势能和动能的总称，表达式为E＝Ek＋Ep。

(2)动能与势能的相互转化：通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。

知识点二、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

2.守恒定律表达式

(1)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。

(2)E2＝E1。

3.机械能守恒的条件

只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：

(1)物体只受重力或弹力作用。

(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。

(3)其他力做功，但做功的代数和为零。(相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化)

1．判断下列说法的正误．

(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化．(　√　)

(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．(　×　)

(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变．(　×　)

(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．(　√　)

2.如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，以桌面所在水平面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为________．

答案　mgH

知识点一、对机械能守恒定律的理解

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．

(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．

(3)只有重力和弹力做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．

(4)除受重力或弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．

2．判断机械能是否守恒的方法

(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零．

(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒．

(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．

【经典例题1】如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒

D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒

答案　C

解析　若不计空气阻力，题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误．

【变式训练1-1】在下列情况中，机械能守恒的是(　　)

A．飘落的树叶

B．沿着斜面匀速下滑的物体

C．被起重机匀加速吊起的物体

D．不计空气阻力，推出的铅球在空中运动的过程

答案　D

解析　树叶在飘落过程中，空气阻力做负功，机械能减少，故A错误；沿着斜面匀速下滑的物体，摩擦力做功，故机械能不守恒，故B错误；物体被起重机匀加速吊起时拉力对物体做功，故物体的机械能不守恒，故C错误；推出的铅球在空中运动且不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，故D正确．

【变式训练1-2】(多选)如图5，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球(　　)

图5

A．下落至C处速度最大

B．由A至D的过程中机械能守恒

C．由B至D的过程中，动能先增大后减小

D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量

答案　ACD

解析　小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B→D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．

知识点二、机械能守恒定律的应用

1．机械能守恒定律常用的三种表达式

(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)

此式表示系统两个状态的机械能总量相等．

(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp

此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量．

(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减

此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量．

2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤

(1)根据题意选取研究对象；

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初态和末态的机械能．

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．

【经典例题1】一条长为0.80 m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝0.10 kg的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝1.00 m，开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图6所示，让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的光滑小钉子P时立刻断裂，不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：

(1)当小球运动到B点时的速度大小；

(2)绳断裂后球从B点抛出并落在水平地面的C点，求小球落到C点时的瞬时速度的大小．

答案　(1)4.0 m/s　(2)2 m/s

解析　(1)设小球运动到B点时的速度大小为vB，由机械能守恒定律得：mvB2＝mgl，解得小球运动到B点时的速度大小为：vB＝＝4.0 m/s.

(2)小球从B点做平抛运动，小球只受重力，全过程机械能守恒，由机械能守恒定律得mgH＝mv2，v＝＝2 m/s.

【变式训练1】如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：

(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；

(2)运动员起跳时的动能；

(3)运动员入水时的速度大小；入水时的速度大小与起跳时的方向有关吗？

答案　(1)5 000 J　(2)625 J　(3)15 m/s　无关

解析　(1)以水面为参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为

Ep＝mgh＝5 000 J.

(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，

则运动员起跳时的动能为

Ek＝mv02＝625 J.

(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则

mgh＋mv02＝mv2，

解得v＝15 m/s.

此速度大小与起跳时的方向无关．

一、单项选择题

1.下列实例中，不计空气阻力，机械能守恒的有(    )

A. 行驶中汽车制动后滑行一段距离，最后停下

B. 流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰

C. 降落伞在空中匀速下降

D. 物体从高处沿光滑固定的曲面下滑

【答案】D

【解析】

【详解】A．行驶中汽车制动后滑行一段距离，最后停下，则机械能减小，选项A不符合题意；

B．流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰，受阻力作用，且机械能转化为内能，则机械能减小，选项B不符合题意；

C．降落伞在空中匀速下降，则动能不变，势能减小，机械能减小，选项C不符合题意；

D．物体从高处沿光滑固定的曲面下滑，只有重力做功，则机械能守恒，选项D正确.

2.如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b．a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托往，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为（    ）

A. h B. 2h C. 1.5h D. 2.5h

【答案】C

【解析】

【详解】设a球上升高度h时，两球的速度大小为v，根据ab系统的机械能守恒得：

3mgh=mgh+•（3m+m）v2，解得：，此后绳子恰好松弛，a球开始做初速为的竖直上抛运动，再对a球，根据机械能守恒：mgh+=mgH，解得a球能达到的最大高度：H=1.5h，故C正确，ABD错误。

3.下列所述的情景中，机械能守恒的是（　　）

A. 汽车在平直路面上加速行驶 B. 木块沿斜面匀速下滑

C. 降落伞在空中匀速下落 D. 小球在空中做自由落体运动

【答案】D

【解析】

【详解】A．汽车在平直路面上加速行驶，动能增加，重力势能不变，所以汽车的机械能不守恒，故A错误。
B．木块沿斜面匀速下滑，说明此时的木块要受到沿斜面的摩擦力的作用，且对木块做了负功，所以其机械能不守恒。故B错误。
C．降落伞在空中匀速下落，说明重力和空气的阻力大小相等，阻力做了负功，所以机械能不守恒，故C错误。
D．做自由落体运动的物体只受重力的作用，所以小球的机械能守恒，故D正确。
故选D。

4.质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面。下列说法中正确的是（       ）

A. 物体的重力势能减少mgh B. 物体的动能增加mgh

C. 物体的机械能减少mgh D. 重力做功mgh

【答案】B

【解析】

【详解】AD．物体在下落过程中，重力做正功为mgh，则重力势能减小也为mgh。故AD错误；
B．物体的合力为

则合力做功为，所以物体的动能增加为mgh，故B正确；

C．物体除重力做功，阻力做负功，导致机械能减少。根据牛顿第二定律得：

得

所以阻力做功为

所以机械能减少为，故C错误；

故选B。

5.如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道间的动摩擦因数为。木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下（货物与木箱之间无相对滑动），当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列说法正确的是（　　）

A. 木箱与货物的质量之比为 1∶3

B. 木箱与弹簧没有接触时，下滑的加速度与上滑的加速度之比为 3∶1

C. 在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能大于弹簧增加的弹性势能

D. 在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，木箱、货物和弹簧组成的系统机械能守恒

【答案】C

【解析】

【详解】A．设下滑距离为l，根据功能关系有

得

m=2M

故A错误；
B．对木箱受力分析，根据牛顿第二定律得：下滑时加速度为

上滑时加速度为

则下滑的加速度与上滑的加速度之比为1∶3，故B错误；
C．根据能量守恒得：在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，可知减少的重力势能大于弹簧的弹性势能，故C正确；
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，由于有摩擦力做功，则木箱、货物和弹簧组成的系统机械能不守恒，选项D错误。

故选C。

6.下列说法正确的是（　　）

A. 力对物体做功越多，力的功率一定越大

B. 物体速度发生变化，合外力做功一定不为零

C. 物体所受合外力为零，物体的机械能不一定守恒

D. 做匀速圆周运动的物体，动量不变

【答案】C

【解析】

【详解】A．根据知，力做功越多，功率不一定大，故A错误；

B．物体的速度发生变化，合外力对物体做功可以为零，如匀速圆周运动，故B错误；

C．物体所受合外力零，其机械能不一定守恒，如物体匀速上升时，机械能不守恒，故C正确；

D．做匀速圆周运动的物体，速度方向时刻改变，故动量时刻改变，故D错误。

故选C。

7. 如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球，从离桌面高H处自由下落，设地面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为

A. mgH B. mgh

C. mg（H＋h） D. mg（H－h）

【答案】C

【解析】

【详解】以地面为参考平面，小球在最高点时机械能E= mg（H＋h）；小球下落过程中机械能守恒，则小球落到地面前瞬间的机械能为mg（H＋h）．

A. mgH，与结论不相符，选项A错误；

B. mgh，与结论不相符，选项B错误；

C. mg（H＋h），与结论相符，选项C正确；

D. mg（H－h），与结论不相符，选项D错误．

8.竖直平面内有两个半径不同的半圆形光滑轨道，如图所示，A、M、B三点位于同一水平面上，C、D分别为两轨道的最低点，将两个相同的小球分别从A、B处静止释放，当它们各自通过C、D时，则　　

A. 两球的线速度大小相等

B. 两球的角速度大小相等

C. 两球对轨道的压力相等

D. 两球的重力势能相等

【答案】C

【解析】

【详解】A．小球在光滑轨道上运动只有重力做功，故机械能守恒，即有mgR＝mv2，所以，线速度v＝；两轨道半径不同，故两球的线速度大小不等，故A错误；

B．角速度

两轨道半径不同，故两球的角速度大小不等，故B错误；

C．由牛顿第二定律可得：小球对轨道压力

FN＝mg+＝3mg

故两球对轨道的压力相等，故C正确；

D．两球开始的高度相同，机械能相同，因机械能守恒，则在最低点时的机械能相同，但动能不同，则重力势能不同，故D错误；

故选C．

二、多项选择题

9.如图所示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为，木箱质量为M，货物质量m=2M，木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道顶端时，自动装货装置将货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下后返回。下列选项正确的是（　　）

A. 卸下货物后木箱恰好被弹回到轨道顶端

B. 木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度

C. 在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，木箱和货物的减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能

D. 木箱上升的过程中，弹簧减少的弹性势能全部转化为木箱的机械能和系统的内能

【答案】ABD

【解析】

【详解】A．设弹簧压缩最大时的弹性势能为，由能量守恒得，下滑过程

上滑过程，到达最高点速度为v，上滑过程由能量守恒得

解得

即木箱恰好被弹回到轨道顶端，故A正确；

B．对木箱受力分析，根据牛顿第二定律得，下滑时加速度为

上滑时加速度为

故B正确；

CD．由能量守恒有，在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，木箱和货物的减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能和系统的内能，上滑过程，弹簧减少的弹性势能全部转化为木箱机械能和系统的内能，故C错误，D正确。

故选ABD。

10.如图，倾角为θ，高为h的斜面体，底面光滑、斜面粗糙。把它置于光滑的水平面上，再将一质量为m的物体（可视为质点）放在斜面体上，让它自顶端沿由静止开始下滑到底端，则重物m（　　）

A. 下滑时，只有重力和摩擦力做功

B. 到达底端时，动能Ek＜mgh

C. 下滑时，重力对物体做功，物体克服斜面的摩擦力和弹力做功

D. 到达底端时，机械能的减少等于克服摩擦力所做的功

【答案】BC

【解析】

【详解】AC．由于斜面体与地面接触光滑，可知当物体下滑时，斜面体向右运动，则对物体除有重力和摩擦力做功之外，斜面的支持力也对物体做功，选项A错误，C正确；

B．由能量关系可知，物体到达底端时，物体的重力势能转化为物体和斜面体的动能以及摩擦生热，则物体滑到底端时的动能Ek＜mgh，选项B正确；

D．到达底端时，物体机械能的减少等于克服摩擦力和弹力做的功的和，选项D错误。

故选BC。

11.如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（　　）

A. 物体运动过程中的最大速度v=16m/s

B. 物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2

C. 在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J

D. 物体从A运动到O共用时14s

【答案】BCD

【解析】

【详解】A．对物体受力分析，当

拉力最小，速度最大，根据

代入数据解得，故A错误；

B．根据

物体向上加速，拉力F越来越小，故当F=20N时，加速度最大，根据牛顿第二定律有

代入数据解得，故B正确；

D．若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，则物体必须先以最大加速度做匀加速运动，再做变加速运动，最后做匀速运动；设经过s，物体做匀加速运动的速度达到最大，此时功率也刚好达到额定功率，根据

解得匀加速的最大速度为

则匀加速运动的时间为

则匀加速运动的位移为

设再经过s达到O点，此过程功率保持不变，为额定功率，根据动能定理有

解得

故物体从A运动到O的总时间为

故D正确；

C．根据功能关系，可知在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功为

故C正确。

故选BCD。

12.如图所示，一端固定在地面上的竖直轻弹簧，在弹簧的正上方高为H处有一个小球自由落下，将弹簧压缩至最短。设小球落到弹簧上将弹簧压缩的过程中获得最大动能是EK，在具有最大动能时刻的重力势能是EP，弹簧最大的弹性势能为Ep弹。忽略空气阻力，小球从下落到弹簧压缩至最短的过程中有（　　）

A. 小球从下落到弹簧压缩至最短的过程中，小球机械能守恒

B. 弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大

C. 若增大H，Ep弹不变

D. 若增大H，EP不变

【答案】BD

【解析】

【详解】AB．小球压缩弹簧的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧压缩至最短时，弹簧形变量最大，所以弹簧的弹性势能最大，故A错误，B正确；

C．在最低点，动能为零，重力势能全部转化为弹性势能，从越高的地方释放，减小的重力势能越大，而增加的弹性势能越大，增大，则C错误。

D．弹簧压缩至最短时，速度为0，但有竖直向上的加速度。在平衡位置，加速度为0，速度最大，动能最大，根据平衡条件，有

解得

即压缩量恒定，即动能最大时是固定的位置，则不变，故D正确；

故选BD。

三、计算题

13.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个质量为m1=2m的滑块（可看成质点），轻绳的一端系着滑块绕过光滑的轻小定滑轮，另一端吊一个质量为m2=3m的物块，小滑轮到竖直杆的距离为3d，d=0.2m。开始时用T形卡使滑块停在与定滑轮等高的位置上，现去掉T 形卡，求：当滑块m1下落到绳子与竖直方向的夹角为时，物块m2的速度大小。（g=10m/s2）。

【答案】1.14m/s

【解析】

【详解】设m1下落到绳子与竖直方向夹角为时下落的高度为h1，速度为v1，此时m2上升高度为h2，速度为v2，由系统机械能守恒得

m1gh1=m2gh2+m1+m2

由几何关系得

h1=4d，h2=2d

速度关系为

v1cos=v2

代入数据得

14.如图所示，质量分别为3kg、5kg的物体A和B用轻线连接跨在一定滑轮两侧，轻线正好拉直，且A物体靠近地面，B距地面0.8m，问：

(1)放开B，当B物体着地时，A物体的速度是多少？

(2)B着地后A还能上升多高？

【答案】（1）2m/s（2）02m

【解析】

试题分析：（1）据机械能守恒，B减少的重力势能等于A增加的重力势能与AB的动能之和

即，带入数据可得

（2）B落地后，A做竖直上抛运动，由，可得．

考点：考查了机械能守恒定律的应用

点评：本题的关键是知道AB组成的系统机械能守恒，但是需要注意AB单个物体的机械能不守恒

15.某人站在离地面h=10m高处的平台上以速度v0=5m/s水平抛出一个质量m=1kg的小球，不计空气阻力，g取10m/s2．问：

（1）人对小球做了多少功？

（2）小球落地时的速度为多大？

【答案】（1）12.5J  （2）15 m/s

【解析】

【详解】（1）人对小球做的功等于小球获得的动能，所以

W=mv02=12.5 J

（2）根据机械能守恒定律可知： mgh+mv02=mv2

所以

v=m/s=15 m/s

16.如图所示，光滑斜面的倾角为，顶端离地面高度为0.2m，质量相等的两个小球A、B，用恰好等于斜面长的细绳子相连，使A在斜面底端，现把B稍许移出斜面，使它由静止开始沿斜面的竖直边下落，求：

(1)当B球刚落地时，A球的速度；

(2)B球落地时后，A球还可沿斜面运动的距离（g=10m/s2）。

【答案】(1)1m/s；(2)0.1m

【解析】

【详解】(1)A、B系统机械能守恒，设B落地时的速度为v，小球A、B的质量为m，由机械能守恒定律得

mBgh-mAghsin30°=(mA+mB)v2

代入数据解得

(2)B落地后，A以v为初速度沿斜面匀减速上升，设A还能沿斜面上升的距离为s，由动能定理得

-mAgs∙sin30°=0-mAv2

代入数据解得