高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用习题

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专题07　构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四　构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则F′(x)＝f′(x)±g′(x)；(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．由此得到结论：(1)出现f′(x)＋naxn－1形式，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b；(2)出现f′(x)±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)；(3)出现f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)出现f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)<3，则f(x)>3x＋6的解集为(　　)A．{x|－1<x<1}　　　　　B．{x|x>－1}　　　　　C．{x|x<－1}　　　　　D．R(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜，则不等式f(log2x)＞的解集为________．(3)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)>1，当x∈时，不等式f(2cos x)>－2sin2的解集为(　　)A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′(x)＞2x．若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞)　　　　　C．(－∞，2]　　　　　D．[2，＋∞)(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)<3x－的解集是(　　)A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．(6)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为________．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是(　　)A．2f(2)－3f(1)＞5　　　　　　　　　　　　B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋x＋C．f(3)－2f(1)＜7　　　　　　　　　　　　D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋x＋(8)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)<x，若f(4－m)－f(m)≥8－4m，则实数m的取值范围为(　　)A．[－2，2]　　　　B．[2，＋∞)　　　　C．[0，＋∞)　　　　D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)(9)已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)A．0　　　　　　　  　B．1　　　　  　　　　C．2　　　　　  　　　D．3(10)函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，当x>0时，f(x)的极值状态是___________．【对点训练】1．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)A．(－1，1)　　　　B．(－1，＋∞)　　　　C．(－∞，－1)　　　　D．(－∞，＋∞)2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为            ．3．已知定义域为R的函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式f(x)>x2－1的解集是(　　)A．(－∞，－1)　　　　　B．(－1，＋∞)　　　　　C．(2，＋∞)　　　　　D．(－∞，2)4．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝4，则不等式f(x)＞＋3的解集为________．5．设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cosx<0，则不等式f(x)<sinx的解集为        ．6．设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)分别为其导数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(　　)A．(－3，0)∪(3，＋∞)　　　　　　　　　　　B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)　　　　　　　　　　D．(－∞，－3)∪(0，3)7．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　　)A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)　　　B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)　　　C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)　　　D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)8．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上f′(x)<x，若f(2－m)＋f(－m)－m2＋2m－2≥0，则实数m的取值范围为__________．9．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足＋x<1，则下列结论正确的是(　　)A．对于任意x∈R，f(x)<0　　　　　　　　B．对于任意x∈R，f(x)>0C．当且仅当x∈(－∞，1)，f(x)<0　　　　　D．当且仅当x∈(1，＋∞)，f(x)>010．已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若g(x)＝f(x)＋，则函数g(x)的零点个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．0或2考点五　构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．【例题选讲】[例1] (1) (2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)A．a>2b　　　　　　B．a<2b　　　　　　C．a>b2　　　　　　D．a<b2(2)已知α，β∈，且αsinα－βsinβ＞0，则下列结论正确的是(　　)A．α＞β　　　　　B．α2＞β2　　　　　C．α＜β　　　　　D．α＋β＞0(3)(多选)若0<x1<x2<1，则(　　)A．x1＋lnx2>x2＋lnx1　　　B．x1＋lnx2<x2＋lnx1　　　C．>　　　D．<(4)已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2＞x1时，不等式－<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，e]　　　　　　B．(－∞，e)　　　　　　C．(－∞，)　　　　　　D．(－∞，](5)(多选)若实数a≥2，则下列不等式中一定成立的是(　　)A．(a＋1)a＋2>(a＋2)a＋1　　　　　　　　　B．loga(a＋1)>loga＋1(a＋2)C．loga(a＋1)< 　　　　　　　　　　D．loga＋1(a＋2)<(6) (2021·全国乙)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝－1，则(　　)A．a<b<c　　　　　　B．b<c<a　　　　　　C．b<a<c　　　　　　D．c<a<b(7)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，若xf′(x)－f(x)＝xlnx，且f＝，则(　　)A．f′＝0　　B．f(x)在x＝处取得极大值　　C．0<f(1)<1　　D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增【对点训练】1．若a＝，b＝，c＝，则(　　)A．a<b<c　　　　　B．c<b<a　　　　　C．c<a<b　　　　　D．b<a<c2．设a，b>0，则“a>b”是“aa>bb”的(　　)A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件3．已知0<x1<x2<1，则(　　)A．>　　　　B．<　　　　C．x2ln x1>x1ln x2　　　　　　　　D．x2ln x1<x1ln x24．已知a>b>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)b<e；(2)b>e；(3)存在a，b满足a·b<e2；(4)存在a，b满足a·b>e2，则正确结论的序号是(　　)A．(1)(3)　　　　　　B．(2)(3)　　　　　　C．(1)(4)　　　　　　D．(2)(4)5．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)A．2x<3y<5z　　　　　B．5z<2x<3y　　　　　C．3y<5z<2x　　　　　D．3y<2x<5z6．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)A．c<b<a　　　　　B．b<c<a　　　　　C．a<c<b　　　　　D．a<b<c7．若0<x1<x2<a，都有x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　)A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e8．下列四个命题：①ln 5<ln 2；②ln π>；③<11；④3eln 2>4．其中真命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．49．已知函数f(x)＝ex＋mlnx(x∈R)，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)－f(x2)＞x1－x2成立，则实数m的取值范围是________．10．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　)A．0<a<b<1　　　　　　B．b<a<0　　　　　　C．1<a<b　　　　　　D．a＝b11．已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，e] 　　　　　　B．(－∞，e) 　　　　　　C．　　　　　　D．12．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(e)＝，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)在(0，＋∞)单调递增　　　　　　  　　B．f(x)在(0，＋∞)单调递减 C．f(x)在(0，＋∞)上有极大值　　　　　　　　D．f(x)在(0，＋∞)上有极小值13．(多选)下列不等式中恒成立的有(　　)A．ln(x＋1)≥，x>－1　　　　　　　　B．ln x≤，x>0C．ex≥x＋1　　　　　　　　　　　　　　D．cos x≥1－x2