18.1.2 第2课时 平行四边形的判定（第2课时）人教版八年级数学下册课件

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18.1.2 平行四边形判定第十八章 平行四边形第2课时 平行四边形的判定（2）学习目标1. 掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定方法.（重点）2. 会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点） 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？情景引入只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.BA 活动 如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 CD，连接 AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？DC四边形 ABCD 是平行四边形猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.你能证明吗？作对角线构造全等三角形一组对应边相等两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD 且 AB∥CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形.证一证证明：连接 AC.∵ AB∥CD， ∴ ∠1 = ∠2.在△ABC 和△CDA 中AB = CD， AC = CA，∠1 = ∠2，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴ BC = DA.又∵ AB = CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形.平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.归纳总结几何语言描述：在四边形 ABCD 中，∵ AB∥CD，AB = CD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.典例精析 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB =CD，EB∥FD．又∵ EB = AB ，FD = CD，∴ EB =FD ．∴ 四边形 EBFD 是平行四边形． 例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形. 例2 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线AD的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．证明：∵ AB = CD，∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，在△ACE 和△DBF 中， AC＝BD ，∠A＝∠D， AE＝DF，∴ △ACE≌△DBF(SAS).∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴ CE∥BF.∴ 四边形 BFCE 是平行四边形．证明：(1) ∵ 点 C 是 AB 的中点，∴ AC = BC.在△ADC与△CEB中， AD＝CE ， CD＝BE ， AC＝BC ，∴ △ADC≌△CEB（SSS）.(2) ∵ △ADC≌△CEB，∴ ∠ACD = ∠CBE，∴ CD∥BE. 又∵ CD = BE，∴ 四边形 CBED 是平行四边形． 【变式题】 如图，点 C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）连接 DE，求证：四边形 CBED 是平行四边形．练一练1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是 （　　）A．AB∥CD，AB = CDB．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC = AD D．AB = CD，BC = AD C证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，∴AD∥ EF，AD = EF， EF∥ BC， EF = BC.∴AD∥ BC，AD = BC.∴四边形 ABCD 是平行四边形.2. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.例3 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什么？解：BF＝CE．理由如下：∵ DF∥BC，EF∥AC，∴四边形 FECD 是平行四边形， ∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE.∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.∴ ∠FBD = ∠FDB.∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.平行四边形的性质与判定的综合运用例4 如图，将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，∵ DE∥AD′，∴ ∠DEA =∠EAD′，∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，∴ ∠DAD′ = ∠DED′.∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.∴ DE = AD′.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥DC，AB = DC，∴ CE∥D′B，CE = D′B，∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形. 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.练一练1.四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有(　　)A．3 种　　 B．4 种　C．5 种　 　D．6 种B2.如图，在▱ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，连接 DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD 以外的所有的平行四边形.解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC，AD = BC.∵ E，F 分别是 AB，CD 的中点，∴ AE = BF = DE = FC，∴ 四边形 ADFE 是平行四边形，四边形 EFCB是平行四边形，四边形 BEDF 是平行四边形.1.在▱ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 （　　）A．AF = CE B．AE = CF C．∠BAE = ∠FCD D．∠BEA = ∠FCE B2. 已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB = CD，周长为40 cm，两邻边的比是 3∶2，则较大边的长度是（　 ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm C3.如图，在平行四边形 ABCD 中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有____个.94.如图，点 E，C 在线段 BF 上，BE = CF，∠B =∠DEF，∠ACB =∠F，求证：四边形 ABED 为平行四边形．证明：∵ BE = CF，∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．又∵ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F，∴ △ABC≌△DEF，∴ AB = DE.∵∠B = ∠DEF，∴ AB∥DE．∴四边形 ABED 是平行四边形．5. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB交AC于F，DE∥AC交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．解：∵ DE∥AC，DF∥AB，∴ 四边形 AEDF 是平行四边形，∴ DE = AF.又∵ AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.∵ DF∥AB，∴ ∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.∴ DF = CF，∴ DE + DF = AF + FC = AC = 10．6.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD = 12 cm，BC = 15 cm，点 P 自点 A 向 D 以 1 cm/s 的速度运动，到 D 点即停止．点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 t(s).(1) 用含 t 的代数式表示： AP =___cm； DP =________cm； BQ =________cm；CQ =____cm；t (12 - t)(15-2t)2t能力提升：(2) 当 t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形？解：根据题意有 AP = t cm，CQ = 2t cm，PD = (12 - t) cm，BQ = (15 - 2t) cm．∵ AD∥BC，∴当 AP = BQ 时，四边形 APQB 是平行四边形．∴ t = 15 - 2t，解得 t = 5．∴ t = 5 s 时四边形 APQB 是平行四边形．解：∵ AP = t cm，CQ = 2t cm， AD = 12 cm，∴ PD = AD - AP = (12 - t) cm，∵ AD∥BC，∴ 当 PD = QC 时，四边形 PDCQ 是平行四边形．即 12 - t = 2t，解得 t = 4.∴ 当 t = 4s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形．(3) 当 t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形？平行四边形的判定(2)平行四边形的性质与判定的综合运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.