中考数学一轮知识复习和巩固练习考点04 数与式综合复习（能力提升） (含详解)

考向04数与式综合复习—能力提升

【知识梳理】

考点一、实数的有关概念、性质

1．实数及其分类

实数可以按照下面的方法分类：

实数还可以按照下面的方法分类：

方法指导：

整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数．

2．数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．

方法指导：

实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．

3．相反数

实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．

一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．

方法指导：

两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．

4．绝对值

一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即：    如果a＞0，那么|a|＝a；

    如果a＜0，那么|a|＝-a；

    如果a＝0，那么|a|＝0．

方法指导：

从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．

5．实数大小的比较

在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．

6．有理数的运算

(1)运算法则(略)．

(2)运算律：

加法交换律  a+b＝b+a；

加法结合律  (a+b)+c＝a+(b+c)；

乘法交换律  ab＝ba；

乘法结合律  (ab)c＝a(bc)；

分  配  律  a(b+c)＝ab+ac．

(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．

算式里如果有括号，先进行括号内的运算．

如果只有同一级运算，从左到右依次运算．

7．平方根

如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．

方法指导：

正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．

8．算术平方根

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零．

方法指导：

从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数．

9．近似数及有效数字

近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．

10．科学记数法

把一个数记成±a×的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．

考点二、二次根式、分式的相关概念及性质

1．二次根式的概念

形如(a≥0) 的式子叫做二次根式．

2．最简二次根式和同类二次根式的概念

最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

方法指导：

把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

（1）互为有理化因式；

（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；

（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.

3．二次根式的主要性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）积的算术平方根的性质：；

（5）商的算术平方根的性质：.

4．  二次根式的运算

(1)二次根式的加减

 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．

方法指导：

二次根式的混合运算：

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

5．代数式的有关概念

(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．

代数式的分类：

(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式．

(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式．

 整式包括单项式和多项式．

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义．

 6．整式的运算

(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．

(2)整式的乘法：

 ①正整数幂的运算性质：

；

；

；

(a≠0，m＞n)．

其中m、n都是正整数．

②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

③乘法公式：

；

．

④零和负整数指数：在(a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定；

当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定．

7．因式分解

（1）因式分解的概念

 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

 在因式分解时，应注意：

 ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．

 ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．

（2）因式分解的方法

 ①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

②运用公式法：；；

③十字相乘法：．

（3）因式分解的步骤

 ①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；

 ②考虑所给多项式是否能用公式法分解．

方法指导：

因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形.

8．分式

（1）分式的概念

 形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．

（2）分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

，．(其中M是不等于零的整式)

（3）分式的运算

 ①加减法：，．

②乘法：．

③除法：．

④乘方：（n为正整数）．

方法指导：
    解分式方程的注意事项：

（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

列分式方程解应用题的基本步骤：
　　(1)审——仔细审题，找出等量关系；
　　(2)设——合理设未知数；
　　(3)列——根据等量关系列出方程；
　　(4)解——解出方程；
　　(5)验——检验增根；
　　(6)答——答题．

【能力提升训练】

一、选择题

1. 把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是（    ）

A.            B. 

C.            D.

2．按一定的规律排列的一列数依次为：┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（    ）

A．           B．          C．           D．

 3．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（    ）

A．100，011       B．011，100     C．011，101      D．101，110

4．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（    ）

A．m＞n           B．m＜n          C．m=n            D．不能确定

5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n次后折痕的条数是 （    ）

A．2n－1　     　B．2n＋1　      　C．2n－1　      　D．2n＋1

6．如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中有5个小正方形，第2个图形有13个小正方形，第3个图形有25个小正方形，…，按此规律，则第8个图形中小正方形的个数为（　　）

A．181 B．145   C．100 D．88

二、填空题

7．若非零实数a，b满足，则=       ．

8．已知分式，当x＝      时，分式的值为0．

9．在实数范围内分解因式 =                      .

10. 化简：

（1）当x≥0时，=　    　；

（2）当a≤0时，=　      　；

（3）当a≥0，b＜0时，=　      　．

11．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：

第一行                  

第二行                   

第三行                     

第四行                     

     第五行                    

               …             ……           …

根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：       　　　　　　   ．

12．让我们轻松一下，做一个数字游戏：

第一步：取一个自然数n1=5 ，计算n12+1得a1；

第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；

第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n23＋1得a3；

…………

依此类推，则a2012=_______________．

三、解答题

13．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为　       　；

（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是　      　；

（3）观察图③，你能得到怎样的代数等式呢？

（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）；

（5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x﹣y的值．

14．阅读下列题目的计算过程：

＝　　　　　　（A）

＝（x－3）－2（x－1）　　　　　　　　　 （B）

＝x－3－2x＋1　　　　　　　　　　　　　 （C）

＝－x－1　　　　　　　　　　　　　　　  （D）

（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号        ．

（2）错误的原因                   ．

（3）本题目正确的结论为                ．

15．已知,求的值.

16. 设,,,…,

设，求S的值 (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

答案与解析

一、选择题

1.【答案】A；

【解析】．

2.【答案】D；

【解析】每个分数的分子均为1，分母为或（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1），

7为奇数，因而其分母为．

3.【答案】B；

【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．

4.【答案】C；

【解析】设地球仪赤道半径为r，则；设地球赤道半径为R，

则，所以相等．

5.【答案】C；

【解析】除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．

6.【答案】B；  

【解析】∵第1个图案中小正方形的个数为3+1+1=5；

第2个图案中小正方形的个数为5+3+1+3+1=13；

第3个图案中小正方形的个数为7+5+3+1+5+3+1=25；

…

∴第n个图形的小正方体的个数（n+1）2+n2；

∴第8个图形中小正方形的个数为92+（9﹣1）2=81+64=145个．故选：B．

二、填空题

7．【答案】2；

【解析】将原式改写为，所以，可求出b=2a．

8．【答案】－1；

【解析】由题意且，所以x=－1．

9．【答案】；

  【解析】此题如果按一般方法去分解，须将展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化

为，将看成一个整体，再用公式法分解因式.

10．【答案】3x；﹣a；﹣3ab

【解析】解：（1）∵x≥0，

∴=|3x|=﹣3x，

故答案为：3x．

（2）∵a≤0，

∴=|a|=﹣a，

故答案为：﹣a．

（3）∵a≥0，b＜0，

∴=|3ab|=﹣3ab，

故答案为：﹣3ab．

11．【答案】、、、、、 ；

【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．

12．【答案】65；

【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．

由题目得，a1=26；n2=8，a2=65；n3=11，a3=122；看不出什么规律，那就继续：n4=5，a4=26；…；

这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即a2012= a2=65．答案为65.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），所以阴影部分的面积为（m﹣n）2；

故答案为：（m﹣n）2；

（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；

故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；

（3）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；

（4）答案不唯一：

（5）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=（﹣6）2﹣2.75×4=25，

∴x﹣y=±5．

14.【答案与解析】

   （1）B ；

（2）去分母；

（3）

．

15.【答案与解析】

 因为  ,所以 , 所以 ,即,

所以     

所以

16.【答案与解析】

==

=

∴S=+++…+

.

（利用拆项即可求和）．