中考数学一轮知识复习和巩固练习考点11 函数综合（基础巩固） (含详解)

考向11函数综合—基础巩固

【知识梳理】

考点一、平面直角坐标系

1．相关概念

   （1）平面直角坐标系

   （2）象限

   （3）点的坐标

2.各象限内点的坐标的符号特征

3.特殊位置点的坐标

   （1）坐标轴上的点

   （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标

   （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标

   （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标

4.距离

（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离

（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离

（3）平面上任意两点间的距离

5.坐标方法的简单应用

（1）利用坐标表示地理位置

（2）利用坐标表示平移

方法指导：

 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；

（3）点P(x,y)到原点的距离等于.

考点二、函数及其图象

1.变量与常量

2.函数的概念

3.函数的自变量的取值范围

4.函数值

5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）

6.函数图象

方法指导：

由函数解析式画其图像的一般步骤：

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

考点三、一次函数

1.正比例函数的意义   

2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质

4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系

5.利用一次函数解决实际问题

方法指导：

 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

考点四、反比例函数

1.反比例函数的概念

2.反比例函数的图象及性质

3.利用反比例函数解决实际问题

方法指导：

     反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.

  ∴.

考点五、二次函数

1.二次函数的概念

2.二次函数的图象及性质

3.二次函数与一元二次方程的关系

4.利用二次函数解决实际问题

方法指导：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）                                                                 

如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.           

2、函数平移规律：左加右减、上加下减.

3、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.

   4、抛物线的对称变换

①关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是.

②关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是.

③关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是.

④关于顶点对称

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

⑤关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

考点六、函数的应用

1.一次函数的实际应用

2. 反比例函数的实际应用

3. 二次函数的实际应用

方法指导：

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

【基础巩固训练】

一、选择题
1.二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k＜3 B． k＜3且k≠0 C． k≤3 D． k≤3且k≠0

2．如图，直线和双曲线 (k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则(　　)

A. S1＜S2＜S3     

B．S1＞S2＞S3    

C．S1＝S2＞S3    

D．S1＝S2＜S3

3．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（    ）

4．已知一次函数的图象如图所示，那么a的取值范围是(    )

A．a＞1    

B．a＜1    

C．a＞0    

D．a＜0

5．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是(　　)

A．y＝x2    B．y＝x－1    C．y＝x    D．y＝

6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是(　　)

A．y＝－(x＋1)2＋2        B．y＝－(x－1)2＋4  

C．y＝－(x－1)2＋2        D．y＝－(x＋1)2＋4

二、填空题

7．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为　　．

第7题                            第8题

8．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．

9．已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数关系式为____      ____．

10．如图所示，点A是双曲线在第二象限的分支上的任意一点，点B，C，D分别是A关于x轴、原点、y轴的对称点，则四边形ABCD的面积是________．

第10题                   第11题

11．如图，直线，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再经过A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为(________，________)．

12．已知二次函数(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，下图分别是当a＝-1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝___      ____．

三、解答题

13．直线交反比例函数的图象于点A，交x轴于点B，点A，B与坐标原点O构成等边三角形，求直线的函数解析式.

14．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNF的面积之比．

15．已知如图所示，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°．

(1)求点A的坐标；

(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．

16．如图所示，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y平方米．

(1)写出y与x的关系式；

(2)当x＝2，3.5时，y分别是多少?

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间?

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，

∴方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，

即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．

故选D．

2.【答案】D；

【解析】S1＝S△AOC＝k，S2＝S△BOD＝k，S3＝S△POE＞k.所以S1＝S2＜S3.

3.【答案】C；

【解析】散步时用时较长，而跑步用时较短，打一会太极拳说明这一时间段离家的距离不变，因而只有C选项符合.

4.【答案】A；

【解析】由图象可知k＞0，即a-1＞0，所以a＞1．

5.【答案】D；

【解析】y＝分布第一、三象限，当x＞0时，y随x的增大而减小．

6.【答案】B；

【解析】抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点为(－1,2)，与y轴交于点(0,3)，开口向上；旋转后其顶点为(1,4)，开口向下. 所以y＝－(x－1)2＋4.

二、填空题

7．【答案】3；

【解析】设P（0，b），

∵直线AB∥x轴，

∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，

∴当y=b，x=﹣，

即A点坐标为（﹣，b），

又∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴当y=b，x=，

即B点坐标为（，b），

∴AB=﹣（﹣）=，

∴S△ABC=•AB•OP=••b=3．故答案为：3．

8．【答案】0.5；

【解析】首先求出反比例函数的表达式，可由图中点的坐标(5，1)求出函数式中的待定系数k，然后利用反比例函数表达式即可得解．

9．【答案】；

  【解析】由于y与x成反比例，则，当y＝400时，x＝0.25，所以k＝400×0.25＝100，

焦距不能为负值．故．

10．【答案】4；

【解析】由题意得AD＝2|x|，AB＝，四边形ABCD是矩形，

∴．

11．【答案】(16，0)；

   【解析】当x＝1时，，所以B1(1，)，OB1＝，

所以A2(2，0)，当x＝2时，y＝，所以B2(2，，OB2＝4，

所以A3(4，0)，依次类推A4(8，0)，A5(16，0)．

12．【答案】 ． 

【解析】当a＝0时，抛物线的顶点坐标是(0，-1)，

当a＝1时，它的顶点坐标是(2，0)，设该直线解析式为y＝kx+b．

则   ∴

∴这条直线的解析式是．

三、解答题

13.【答案与解析】

由题意可知直线与反比例函数的图象相切

设A 点的横坐标为m,则由等边三角形△OAB得，纵坐标为，即A（m, ），

因为点A在反比例函数的图象上，所以m×=，，A（1, ）或（-1, -），则OB=OA=2m,所以B（2,0）、或B（-2,0），

直线过A（1, ）、B（2,0）的解析式为；

直线过A（-1,- ）、B（-2,0）的解析式为.

14.【答案与解析】

解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，

解得：c=3，

∴y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M（1，4）；

（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点B（3，0），

∴EM=1，BN=2，

∵EM∥BN，

∴△EMF∽△BNF，

∴=（）2=（）2=．

15.【答案与解析】

    解；(1)如图所示，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．则OD＝OA cos 60°＝2×＝1，

(2)设直线AB的解析式为．

令x＝0，得，∴．

∴．

16.【答案与解析】

解：(1)如图所示，设当△ABC移动x秒时，到达如图位置，则△ECM的面积为y．

CE＝2x，ME＝2x，所以y＝2x2(x≥0)．

(2)当x＝2时，y＝2×4＝8，

当x＝3.5时，y＝2×(3.5)2＝24.5．

(3)正方形面积为100，当y＝50时，2x2＝50，x＝5．

即三角形移动5秒时，重叠部分面积等于正方形面积的一半．