中考数学一轮知识复习和巩固练习考点16 勾股定理及其逆定理（基础巩固） (含详解)

考向16   勾股定理及其逆定理

【知识梳理】

考点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

方法指导：

勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

3.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

③可运用勾股定理解决一些实际问题.

考点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

方法指导：

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；

③用含字母的代数式表示组勾股数：

（为正整数）；

　（为正整数）

（，为正整数）.

考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【专项训练】

一、选择题

1. 直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，则这个三角形的锐角是（   ）.
　　A．15°   B．30°   C．45°   D．75°

2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（   ）.
　　 A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°
　　

3. 如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为（   ）. A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．
　

4．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下，其中不是直角三角形的是（   ）.
　　A. 1:1:2 　　　B. 1:3:4 　　　C. 9:25:36 　　　D. 25:144:169
    5.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为（　　）

A． B． C． D．

6.若△ABC的三边a、b、c满足a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（    ）.
　　A．338　　　　B．24　　　　　C．26　　　　　　　D．30

二、填空题

7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．

8. 已知直角三角形的三边长分别为3，4，x，则 x=______________.

9.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是         cm2．

10. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要__________分的时间．　

11.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：
）
　

12.若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；
②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；

③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；
④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.
其中所有正确结论的序号为_____.

三、解答题

13. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.

 

14.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.

（1）求A、C两点之间的距离.

（2）确定目的地C在营地A的什么方向.

15. 已知：如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm， BC=10cm，求EC的长.
　　　　　　　

16.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．

（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．

（2）求出（1）中的最短路程．

答案与解析

一．选择题

1．【答案】C .

【解析】由题意：，所以所以从而a=b,该三角形是等腰直角三角形，所以锐角为45°.

2．【答案】C .

【解析】连接AC，计算AC=BC= ,AB=,满足勾股定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.

3．【答案】D.

【解析】可证明△BDE是直角三角形，DE=4，BE=8，= .

4．【答案】C .

【解析】开方后看哪一组数满足勾股定理即可.

5．【答案】B.

【解析】矩形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，

在直角△ABC中，AC==5，

设BE=x，则EF=BE=x．

在直角△EFC中，CF=AC﹣AF=2，EC=4﹣x．

根据勾股定理可得：EF2+CF2=CE2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=1.5．

△CEF的面积=×1.5×2=1.5，

矩形纸片ABCD的面积=4×3=12，

△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为1.5：12=．故选：B．

6．【答案】D.

【解析】由a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c得（a－5）+(b－12) +(c－13) =0.

二．填空题

7．【答案】6 .

【解析】因为∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，所以AB=10cm. 根据翻折的性质可知：，则,设，则AD=8－x, 在直角△中，应用勾股定理：，解得：x=3. 则S.

8．【答案】5或.

由于不知道4与x的大小关系，所以两者都有可能作斜边。
　　　　　①当x为三角形的斜边时，有，所以x=5；
　　　　　②当4为三角形的斜边时，有，所以x=（舍负）.
　　　　　综上所述，x为5或.

9．【答案】147.

   【解析】∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，

∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，

正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，

又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，

∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），

则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．

10．【答案】12.

11.【答案】2.

【解析】提示：将吸管从指定地方插入，一直到包装盒的左前下角或左后下角，此时为吸管深入的最大距离，两次使用勾股定理可得：h=13-11=2cm）．

12．【答案】②③．

【解析】由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2=c2，然后根据三角形三边关系即任意一边长大于其他二边的差，小于其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．

三.综合题

13．【解析】

延长AD、BC交于E．
　　　∵∠ A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°,
　　　∴ AE=2AB=8，CE=2CD=4，
　　　∴ BE2=AE2－AB2=82－42=48，BE==,
　　　∵ DE2= CE2－CD2=42－22=12，∴DE==,
　　　∴ S四边形ABCD=S△ABE－S△CDE=AB·BE－CD·DE=.

14．【解析】

      （1）过点B作BE//AD，
　　∴∠DAB=∠ABE=60°，
　　∵ 30°+∠CBA+∠ABE=180°
　　∴∠ CBA=90°
　　即△ ABC为直角三角形，
　　由已知可得： BC=500m，AB=，
　 由勾股定理可得：，
   所以；
　（2）在Rt△ABC中，
　 ∵ BC=500m，AC=1000m，
　 ∴∠CAB=30°，
　 ∵∠ DAB=60°，
　 ∴∠ DAC=30°，
　 即点 C在点A的北偏东30°的方向.

15．【解析】

设CE=x， 则DE=8－x，
　　由条件知：Δ AEF≌ΔAED，∴AF=AD=10， EF=DE=8－x，
　　在Δ ABF中，BF2=AF2－AB2=102－82=62，
　　∴ BF=6， ∴ FC=4，
　　在 RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2， ∴(8－x)2=x2+42，
　　即 64－16x+x2=16+x2， ∴16x=48， x=3，
　　答：EC的长为3cm.

16.【解析】

解：（1）如图；

（2）由作图可得最短路程为A′B的距离，过A′作A′F⊥BD的延长线于F，

则DF=A′C=AC=1km，A′F=CD=3km，BF=1+3=4km，

根据勾股定理可得，A′B=5km．