中考数学一轮知识复习和巩固练习考点23 圆综合复习（能力提升） (含详解)

考向23   圆综合复习

【知识梳理】

考点一、圆的有关概念

1. 圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

方法指导：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

2.与圆有关的概念

    ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．

    ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，．

    ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆．

    ⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．

    ⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．

    ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．

    ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

    ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

    ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

    圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．

    圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．

考点二、圆的有关性质

1.圆的对称性

    圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．

2.垂径定理

    ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：

     方法指导：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．

    注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

3.弧、弦、圆心角之间的关系

    ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

    ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

4.圆周角定理及推论

    ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

    ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

方法指导：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．

考点三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：

方法指导：

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示．

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．

③经过在同一直线上的三点不能作圆．

④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

    (2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．

2.直线与圆的位置关系

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．

    ②圆的切线．

    切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．

    切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

    切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

    切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

    ③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．

方法指导：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．

三角形外心、内心有关知识比较

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．

方法指导：

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．

    ②同心圆是内含的特殊情况．

    ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．

    ④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．

考点四、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

    正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于．

方法指导：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．

2.正多边形的性质

    任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．

3.正多边形的有关计算

    定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算．

，，，

，，．

考点五、圆中的计算问题

   1.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径．

2.扇形面积公式：，其中．

圆心角所对的扇形的面积，另外．

3.圆锥的侧面积和全面积：

    圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．

    圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．

方法指导：

在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．

考点六、求阴影面积的几种常用方法

    (1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．

【专项训练】

一、选择题

1．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（　　）

A．d＞8     B．d＞2    C．0≤d＜2   D．d＞8或d＜2

2．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝(   )

A．   

B．   

C．   

D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是(    )

A．相离   

B．相切   

C．相交   

D．相切或相交

4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是(    )

A．相交或相切    B．相切或相离    C．相交或内含    D．相切或内含

5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为(   )

A．19      

B．16     

C．18     

D．20

6．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为(    )

A．    

B．   

C．1   

D．2

二、填空题

7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．

8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．

9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，与关于点O中心对称，则AB、BC、、所围成的面积是________cm2．

10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．

11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．

12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是　        　．

三、解答题

13．如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．

（1）证明：BC是⊙O的切线；

（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；

（3）若，求的值．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．

(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；

(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．

(1)证明：AF平分∠BAC；

(2)证明：BF＝FD；

(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．

(1)证明：直线PB是⊙O的切线；

(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

(3)求sin∠OPA的值．

答案与解析

一、选择题
1.【答案】D ；

【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，

当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；

当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．

故选D．

2.【答案】A ；

【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，

则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，

设AE＝x，则AD＝2+2x．

由△ABE∽△ADB可得，

即，解得．

   ∴  AD＝2+2x＝1+，则．

3.【答案】B ；

【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，

   在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，

   ∴  CD＝BC＝(cm)．

   又⊙C的半径为2cm，

∴  d＝r．

∴  直线AB与⊙C相似．

4.【答案】A ；

【解析】因为AO1＝3，所以点A在圆O1上，又因为点A在圆O2上，

所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切．

5.【答案】D ；

【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E．

   ∵  ∠A＝∠B＝60°，∴  ∠ADB＝60°．

   ∴  △DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．

   在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，

   ∴  DE＝OD·cos 60°＝，∴  BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．

6.【答案】A；

【解析】过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．

   连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝，

∴  ．

二、填空题

7．【答案】120°；

【解析】连接BC，BD，则△ABC与△ABD都是等边三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，

所以∠CAD＝60°+60°＝120°．

8．【答案】18 ；

【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，

则由题意．

∴  θ＝18．

9．【答案】2 ；

  【解析】连接AC，因为与关于点O中心对称，

所以A，O，C三点共线，，

    所以所求圆形的面积＝△ABC的面积(cm2)．

10．【答案】8 ； 

【解析】连接OC，OA，则OC垂直平分AB，

由勾股定理知，

所以AB＝2AC＝8．

11．【答案】1 ；

   【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，

∴  CD＝2．

则．

设EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD得，

∴  ．

∴ ．

∴  当x＝1时，S有最大值．

12．【答案】①②；  

【解析】如图

∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，

而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°，

∴∠1+∠2=90°﹣∠A，

又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，

∴∠BOC=90°∠A，所以①正确；

∵EF∥BC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，

∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，

∴EB=EO，FC=FO，

∴BE+FC=EF，

∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确；

连OA，过O作OG⊥AE于G，如图，

∵点O为△ABC的内心，

∴OA平分∠BAC，

∴OG=OD=m，

∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=（AE+AF）•m=mn，所以③不正确；

∵EB=EO，FC=FO，

若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF，

∴AE=EO，AF=FO，

∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确．

故答案为：①②．

三、解答题

13.【答案与解析】

  解：（1）连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAC，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC是⊙O的切线．

（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，

得：，

作OF⊥AD于F，根据垂径定理得

可证△AOF∽△ADC

∴∴

∴；

（3）连接ED，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AE为直径，

∴∠ADE=90°，

∴在Rt△AED中，tan∠EAD==tan∠DAC=，

∵∠AED=90°，

∴∠EDB+∠ADC=90°，

∵∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠EDB=∠DAC=∠EAD，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BDA，

∴．

14.【答案与解析】

   (1)∵  DE垂直平分AC，∴  ∠DEC＝90°．

∴  DC为△DEC外接圆的直径．

∴  DC的中点O即为圆心．

连接OE，又知BE是⊙O的切线，

∴  ∠EBO+∠BOE＝90°．

在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，

∴  BE＝EC．

∴  ∠EBC＝∠C．

又∵  ∠BOE＝2∠C，∴  ∠C+2∠C＝90°．

∴  ∠C＝30°．

(2)在Rt△ABC中，，

∴  ．

∵  ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴  △ABC∽△DEC．

∴  ．∴  ．

∴  △DEC外接圆的半径为．

15.【答案与解析】

    (1)证明：连接OF ．

   ∵  FH是⊙O的切线，

∴  OF⊥FH．

∵  FH∥BC，

∴  OF垂直平分BC．

∴  ．

∴  AF平分∠BAC．

 (2)证明：由(1)及题设条件可知

∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，

∴  ∠1+∠4＝∠2+∠3．

∴  ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．

∴  BF＝FD．

(3)解：在△BFE和△AFB中，

∵  ∠5＝∠2＝∠1，∠BFE＝∠AFB，

∴  △BFE∽△AFB．

∴  ，

∴  ，

∴  ．

16.【答案与解析】

    (1)证明：连接OB．

∵  BC∥OP，

∴  ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．

又∵  OC＝OB，∴  ∠BCO＝∠CBO．

∴  ∠POB＝∠POA．

又∵  PO＝PO，OB＝OA，

∴  △POB≌△POA．

∴  ∠PBO＝∠PAO＝90°．

∴  PB是⊙O的切线．

(2)解：2PO＝3BC．(写PO＝BC亦可)

证明：∵  △POB≌△POA，∴  PB＝PA．

∵  BD＝2PA，∴  BD＝2PB．

∵  BC∥PO，∴  △DBC∽△DPO．

∴  ，

∴  2PO＝3BC．

(3)解：∵  △DBC∽△DPO，

∴  ，即，

∴  DC＝2OC．

设OA＝x，PA＝y，则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．

在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2＝x2+(2y)2，即2x2＝y2．

∵  x＞0，y＞0，

∴  ，．

∴  ．