广西柳州市2021年中考数学真题试卷（含详解）

2021年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试

数学

（考试时间：120分钟      满分：120分）

第Ⅰ卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）

1. 在实数3，，0，中，最大的数为（    ）

A. 3 B.  C. 0 D.

【答案】A

【详解】

【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．

【详解】根据有理数的比较大小方法，可得：

，

因此最大的数是：3,

故选：A．

【点睛】本题考查了实数的比较大小，解答此题的关键在于明确：正数＞0＞负数．

2. 如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项．

【详解】A. 主视图为三角形，不符合题意；

B. 主视图为矩形，不符合题意；

C. 主视图为正方形，不符合题意；

D. 主视图为圆，符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．

3. 柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】

【分析】用科学计数法表示出即可．

【详解】．

故选C．

【点睛】本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

4. 以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可

【详解】∵A,B,C都不轴对称图形,

∴都不符合题意;

D是轴对称图形,符合题意,

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义,准确理解轴对称图形的定义是解题的关键．

5. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（    ）

A. 调查柳江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况

C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率

【答案】C

【详解】

【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可．

【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意；

B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；

C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意；

D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意．

故选C．

【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键．

6. 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】B

【详解】

【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．

【详解】是菱形

的面积

故选B．

【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．

7. 如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是冰壶项目图案的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】

【分析】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，据此利用概率公式求解即可．

【详解】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，所以抽出的卡片正面怡好是冰壶项目图案的概率是．

故选：A．

【点睛】本题考查了等可能事件概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果．

8. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【详解】

【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可

【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

C. 符合题意；

D.， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．

故选C．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．

9. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定

【答案】A

【详解】

【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定．

【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的．

故选A．

【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．

10. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C. y随x的增大而增大 D. 时，

【答案】B

【详解】

【分析】首先根据图像中过两点，求出一次函数的详解式，然后根据函数的性质进行判断即可．

【详解】首先将代入一次函数详解式，得

，

解得，

所以详解式为 ；

A、,由求出的，可知此选项错误；

B、，由求出的，可知此选项正确；

C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；

D、将x=3代入， ，故此选项错误；

故选：B．

【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数详解式，熟练掌握函数图像与函数详解式中系数 的关系是解题关键．

11. 往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】

【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．

【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，

∵OC⊥AB，由垂径定理可知，

∴AC=CB=AB=12，

在Rt△AOC中，由勾股定理可知：

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．

12. 如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（    ）

A.  B. 6 C.  D.

【答案】D

【详解】

【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出，再根据扇形面积公式求解即可．

【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，

∴，

∴，

线段扫过的图形为扇形，此扇形的半径为，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决本题的关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）

13. 如图，直线，则的度数是______．

【答案】60

【详解】

【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据对顶角相等即可求得∠2的度数．

【详解】∵a∥b，如图

∴∠3=∠1=60゜

∵∠2=∠3

∴∠2=60゜

故答案为：60

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键．

14. 因式分=                       ．

【答案】．

【详解】

【详解】原式=．故答案为．

：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解．

15. 如图，在数轴上表示x的取值范围是________．

【答案】

【详解】

【分析】根据数轴可知，表示x的数在数2的右边，且不等于2，因此即可判断x的取值范围 ．

【详解】由数轴知：，

故答案为：x>2．

【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈．

16. 若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）

【答案】5（答案不唯一）

【详解】

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．

【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，

整数a可取2、3、4、5、6中的一个，

故答案为：5（答案不唯一）．

【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键．

17. 在x轴，y轴上分别截取，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值是_______．

【答案】2或

【详解】

【分析】分P点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P为∠AOB的角平分线，由此得到横坐标与纵坐标相等或互为相反数．

【详解】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，OP∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等，

故a=2；

当P点位于第二象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，

故a=-2；

∴a的值是2或-2．

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑P点在第一象限和第二象限这两种情况．

18. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．

【答案】

【详解】

【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．

【详解】解：连接，如下图：

在中，

分别是中点，

是的中位线，

，

已知长的最大值为，

此时的，

显然当三点共线时，取到最大值：，

，

，

设，由两点间的距离公式：，

，

解得：（取舍），

，

将代入，

解得：，

故答案是：．

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 计算：

【答案】1

【详解】

【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决．

【详解】原式     

【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的定义．

20. 解分式方程：

【答案】

【详解】

【分析】两边同乘以x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可

【详解】解：去分母得：

解得         

检验：将代入原方程的分母，不为0

为原方程的解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键．

21. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．

证明：在和中，

∴

∴____________

【答案】，，，

【详解】

【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．

【详解】证明：在和

∴

∴

【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．

22. 如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．

（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？

（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？

【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱

【详解】

【分析】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；

（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．

【详解】解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，

由题意得：，

解得，

答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；

（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，

由题意得：，

解得，

答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．

23. 为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示．

（1）补全下面图1的统计图；

（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为________；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．

【答案】（1）见详解；（2）3本；（3）360人

【详解】

【分析】（1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为4本的人数，从而能够将条形图补充完整；
（2）从补全的条形图中即可解决；
（3）求出样本中读书量不少于4本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于4本的人数占总体的百分比，进而问题可解．

【详解】（1）∵读书量1本的人数为5人，占抽取人数的10%，
∴抽取人数为： （人）．
∴读书量为4本的人数为：
50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）．
∴图1补充完整如下：

（2）∵读书量为3本的人数最多，

∴抽取学生五月份读书量的众数为3本．

故答案为：3本

（3）∵样本中读书量不少于4本的人数的百分比为：，

∴（人）．
 

答：估计七年级学生中读书量不少于4本的学生人数为360人．

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键．

24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；

（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；（2）救助船先到达．

【详解】

【分析】(1)如图，作于，在△PAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可；

(2)根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.

【详解】(1)如图，作于，

则，

由题意得：海里，，，

∴海里，等腰直角三角形，

∴海里，海里，

答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；

(2)∵海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

∴救助船所用的时间为(小时)，

救助船所用的时间为(小时)，

∵，

∴救助船先到达．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

25. 如图，四边形中，，以A为圆心，为半径作圆，延长交于点F，延长交于点E，连结，交于点G．

（1）求证：为的切线；

（2）求的值；

（3）求线段的长．

【答案】（1）见详解；（2）；（3）

【详解】

【分析】（1）根据平行线的性质，证明∠ABC=90°即可；

（2）根据平行线的性质，得∠EDF=∠BCD，过点D作DH⊥BC，垂足为H，在直角三角形CDH中，根据三角函数的定义计算即可；

（3）过A作于点J，证明，后利用勾股定理计算即可

【详解】（1）证明：∵，

∴

∵

∴是的切线           

（2）过D作于H,

∵

∴

∴四边形为平行四边形           

∴

在中，

∴,

∴,

∴

（3）过A作于点J,

∴

在中，

∴

∴

∴

∵

∵

∴

∴，

∴

中，

∴.

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键.

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．

（1）求抛物线的函数详解式；

（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；

（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】

【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数详解式即可；

（2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的详解式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；

（3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的详解式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值．

【详解】解：（1）依题意，设，

代入得：，解得：

∴；

（2）由， 设=x，则，

∵BE⊥OD，

∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，

即，解得：（舍），

∴，，

过点E做平行于交y轴于T，

∴，

∴，

∴，

即，解得：，

∴，

∴ ，

∴直线的详解式为，

∵的延长线交抛物线于点D，

∴，解得：（舍），

当时，，

∴  ；         

（3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H

作轴交于点T，过M点作于点D，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴ ，         

设直线的详解式为，将B，C两点代入得

解得：，

∴直线的详解式为，

当时，，

∴，

∴，

设，

∴，

∵，

∴ ，      

∴．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的详解式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．