江苏省宿迁市宿豫区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份江苏省宿迁市宿豫区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省宿迁市宿豫区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知一组数据：54、53、55、52、52、55、55，这组数据的众数是（　　）
A．55 B．54 C．53 D．52
2．2sin45°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
3．若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们周长的比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
4．某校举行课间操比赛，甲、乙两个班各选出20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都为1.65m，其方差分别为S甲2＝6，s乙2＝3.2，则参赛学生身高比较整齐的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．同样整齐 D．无法确定
5．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA 等于（　　）

A． B． C． D．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．45°
8．将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣3）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2+1
C．y＝﹣2（x﹣3）2+5 D．y＝﹣2（x+3）2+5
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是 　 　．
10．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是　 　．
11．如果在比例尺为1：100的图纸上，某个工件的长为3.4厘米，那么这个工件的实际长为 　 　米．
12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣2，3），则a的值为 　 　．
13．若2cosα＝，则锐角α的大小为 　 　．
14．若圆锥的底面半径为3，母线长为7，则这个圆锥的侧面积是 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值为 　 　．

16．如图，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，你添加的条件是 　 　（只写一种情况即可）．

17．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　 　步．

18．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则BC的长为 　 　．

三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2）2﹣+3tan30°．
20．（8分）解方程：x2+10x﹣11＝0．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，tanA＝．求AC、AB的长．

22．（8分）在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，＝．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD＝AB，DE＝6，求BC的长．

23．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；
（2）求点Q（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
24．（10分）如图，在阳光下，旗杆AB在地面上的影长BC为14.4m；在建筑物墙面上的影长CD为3m．同一时刻，测得直立于地面长1m的木杆的影长为1.2m．求旗杆AB的高度．

25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴分别交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求四边形ADBC的面积．

26．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADC＝∠C＝90°，AD＝10，AB＝8．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）求四边形ABCD的周长．

27．（12分）2016年3月国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润W最大，最大利润是多少？
28．（12分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，并在其上取一点C，连接OC交O于点D，连接AD、BD，并延长BD交AC于点E．
（1）证明：△CDE∽△CAD；
（2）若AB＝2，AC＝2，求CD和CE的长．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知一组数据：54、53、55、52、52、55、55，这组数据的众数是（　　）
A．55 B．54 C．53 D．52
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中55出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是55，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2．2sin45°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：2sin45°＝2×＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们周长的比为（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2，
∴两个相似多边形周长的比等于1：2，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．
4．某校举行课间操比赛，甲、乙两个班各选出20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都为1.65m，其方差分别为S甲2＝6，s乙2＝3.2，则参赛学生身高比较整齐的班级是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．同样整齐 D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
【解答】解：S甲2＝6，S乙2＝3.2，
∴S甲2＞S乙2，
∴参赛学生身高比较整齐的班级是乙班，
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA 等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AC的长，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∴tanA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．45°
【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠D＝∠B＝55°，然后利用互余关系计算∠CAD的度数．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠B＝55°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣55°＝35°．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
8．将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣3）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2+1
C．y＝﹣2（x﹣3）2+5 D．y＝﹣2（x+3）2+5
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣2x2+3向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2+3；
再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣3）2+1．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是 　　．
【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵总人数＝2+3＝5人，其中男生有3名，
∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
10．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是　x1＝﹣1，x2＝2．　．
【分析】根据因式分解法直接解答．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0，x﹣2＝0，
x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为x1＝﹣1，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
11．如果在比例尺为1：100的图纸上，某个工件的长为3.4厘米，那么这个工件的实际长为 　3.4　米．
【分析】设这个工件的实际长为x米，则根据比例尺得到0.034：x＝1：100，然后利用比例的性质求出x即可．
【解答】解：设这个工件的实际长为x米，
3.4厘米＝0.034米，
根据题意得0.034：x＝1：100，
解得x＝3.4，
即这个工件的实际长为3.4米．
故答案为：3.4．
【点评】本题考查了比例尺：正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣2，3），则a的值为 　　．
【分析】将（﹣2，8）代入y＝ax2求解．
【解答】解：将（﹣2，3）代入y＝ax2得3＝4a，
解得a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
13．若2cosα＝，则锐角α的大小为 　45°　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵2cosα＝，
∴cosα＝，
∴α＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．若圆锥的底面半径为3，母线长为7，则这个圆锥的侧面积是 　21π　．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．
故答案为：21π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值为 　　．

【分析】根据勾股定理以及三角函数的定义解决此题．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝．
∴设BC＝x，则AB＝x．
∴AC＝＝x．
∴cosA＝＝＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查勾股定理、三角函数的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决本题的关键．
16．如图，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，你添加的条件是 　＝　（只写一种情况即可）．

【分析】∠BAC和∠DAE是对顶角，若根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定△ABC∽△ADE，则添加的条件是“＝”；也可以根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”判定△ABC∽△ADE，则添加的条件是“BC∥DE”；还可以根据“两角分别相似的两个三角形相似”判定△ABC∽△ADE，则添加的条件是“∠B＝∠D”．
【解答】解法一：＝，
理由：∵＝，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：＝．
解法二：BC∥DE，
理由：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：BC∥DE．
解法三：∠B＝∠D，
理由：∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠B＝∠D．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定定理，根据题中所给的条件适当选择相似三角形的判定定理是解题的关键．
17．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　4　步．

【分析】如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OD⊥BC，OE⊥AC，再证明矩形ODCE为正方形得到CD＝CE＝OD＝r，所以BF＝BF＝5﹣r，AE＝AF＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，解方程求出r，从而得到⊙O的直径．
【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F，
连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵AC、BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
∴四边形ODCE为矩形，
而CD＝CE，
∴矩形ODCE为正方形，
∴CD＝CE＝OD＝r，
∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r，
∵BD＝BF，AF＝AE，
∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r，
∵AB＝＝13，
∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2，
∴⊙O的直径为4．
故答案为4．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
18．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则BC的长为 　3　．

【分析】先图形折叠的性质得到BF＝EF，AE＝AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB，
因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3，
又因为AE＝AB＝CD＝6，∠D＝90°，
所以AD＝BC＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和勾股定理应用，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．
三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣2）2﹣+3tan30°．
【分析】直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3+3×
＝4﹣3+
＝1+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解方程：x2+10x﹣11＝0．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x2+10x﹣11＝0，
∴（x﹣1）（x+11）＝0，
则x﹣1＝0或x+11＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣11．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，tanA＝．求AC、AB的长．

【分析】利用三角函数的定义可以求得AC，再利用勾股定理可求得AB．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝，
∵BC＝10，tanA＝，
∴＝，
∴AC＝24，
∴AB＝＝＝26．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用．
22．（8分）在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，＝．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD＝AB，DE＝6，求BC的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定即可完成证明；
（2）结合（1）得＝，根据AD＝AB，DE＝6，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵＝，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵AD＝AB，DE＝6，
∴＝，
∴BC＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC∽△ADE．
23．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；
（2）求点Q（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出表格，即可得到Q点坐标；
（2）然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y＝﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：列表得：
（x，y）
1
2
3
4
1

（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）

（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）

（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）

（1）点Q所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；

（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y＝﹣x+5图象上的有4种，
即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
∴点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率为：P＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（10分）如图，在阳光下，旗杆AB在地面上的影长BC为14.4m；在建筑物墙面上的影长CD为3m．同一时刻，测得直立于地面长1m的木杆的影长为1.2m．求旗杆AB的高度．

【分析】作DE⊥AB于E，可得矩形BCDE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE＝BC＝14.4m，BE＝DC＝3m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，
解得AE＝12m，
∴AB＝12+3＝15（m）．
答：旗杆的高度为15m．

【点评】考查相似三角形的应用；构造出直角三角形进行求解是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比为定值．
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴分别交于点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求四边形ADBC的面积．

【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴分别交于点A（1，0），B（5，0），可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点D和点C的坐标，然后根据图形可知：S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC，然后代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴分别交于点A（1，0），B（5，0），
∴，
解得，
即这个二次函数的表达式是y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）连接AC，如图所示，
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴点D的坐标为（3，4），点C的坐标为（0，﹣5），
∵点A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC＝＝18，
即四边形ADBC的面积是18．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADC＝∠C＝90°，AD＝10，AB＝8．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）求四边形ABCD的周长．

【分析】（1）由“同角的余角相等”证明∠A＝∠BDC，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△DCB；
（2）由AD＝10，AB＝8，根据勾股定理求得DB＝＝6，由△ABD∽△DCB，得＝＝＝＝，可求得DC＝，BC＝，则AB+BC+DC+AD＝．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°，∠BDC+∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DCB．
（2）解：∵∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴DB＝＝＝6，
∵△ABD∽△DCB，
∴＝＝＝＝，
∴DC＝×8＝，BC＝×6＝，
∴AB+BC+DC+AD＝8+++10＝，
∴四边形ABCD的周长是．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式等知识与方法，证明△ABD∽△DCB并且根据勾股定理求得DB＝6是解题的关键．
27．（12分）2016年3月国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润W最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W＝840求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W＝﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：
（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W＝（x﹣10）y＝﹣10x2+400x﹣3000，
令W＝840，则﹣10x2+400x﹣3000＝840，
解得：x1＝16，x2＝24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．
28．（12分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，并在其上取一点C，连接OC交O于点D，连接AD、BD，并延长BD交AC于点E．
（1）证明：△CDE∽△CAD；
（2）若AB＝2，AC＝2，求CD和CE的长．

【分析】（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，则∠B+∠BAD＝90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD＝90°，则∠B＝∠CAD，由于∠B＝∠ODB，∠ODB＝∠CDE，所以∠B＝∠CDE，则∠CAD＝∠CDE，加上∠ECD＝∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝2，根据勾股定理可计算出OC＝3，则CD＝OC﹣OD＝2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
而∠ODB＝∠CDE，
∴∠B＝∠CDE，
∴∠CAD＝∠CDE，
而∠ECD＝∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB＝2，
∴OA＝1，
在Rt△AOC中，AC＝2，
∴OC＝＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2，
∵△CDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
∴CE＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．