数列通项、求和、范围与最值问题（解析版）

数列通项、求和、范围与最值问题

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /30

一、单选题

1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（    ）

A．35 B．40 C．45 D．50

【答案】B

【解析】由题知，均为等差数列，且，，，

所以，得，

所以数列的前5项和为．

故选：B

2．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项积为，若，，且，则使最大的正整数n的值为（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】B

【解析】易知，因为，，所以，，

将其代入，得，所以，

即数列是以128为首项，为公比的等比数列，

所以，，，

当时，，所以，因为均小于0，即，，故最大.

故选：B．

3．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）数列满足，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】由题可知，，得，∴数列是以3为周期的周期数列，∴.

故选：B.

4．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】[方法一]:常规解法

因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

[方法二]：特值法

不妨设则

故D正确.

5．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，

因为，，

所以，解得，

所以，

当x为正整数且奇数时，函数单调递减，

当x为正整数且偶数时，函数单调递增，

所以时，取得最大值，当时，取得最小值，

所以，解得.

故选：B.

6．（2023·安徽宿州·统考一模）我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ）

A．

B．7阶幻方第4行第4列的数字为25

C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260

D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

【答案】D

【解析】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.

对A，，A对；

对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即，B对；

对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；

对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.

故选：D

7．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列的前n项和为．若等比数列满足，，则数列的前n项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，

所以等比数列的公比，所以，则，

由，可知数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

故选：D．

8．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．9

【答案】B

【解析】设数列的公比为，

若，则由题意知，，成等比数列，

则，又，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

即，时等号成立，

则的最小值为.

当时，由，可得，

所以，

故的最小值为.

故选：B.

9．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，

所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，

由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，

即经过4次操作之后所得图形的面积是.

故选：A

10．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【解析】1、当时，，，；

2、当时，有，代入，得，

化简得：，则，.

故选：D

11．（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方法1：∵为等差数列，，

∴，

；

方法2：∵为等差数列，，

∴，

∴.

故选：A.

12．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）在正项数列中，，，记．整数满足，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，又因为，所以，

所以，

因为，，

整数满足，所以，

的前120项和为

.

故选：B.

二、填空题

13．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【解析】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

14．（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.

【答案】

【解析】数列的前n项和为，，，当时，，

两式相减得：，即，而，解得，

因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，

，

所以.

故答案为：

15．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．

【答案】6

【解析】在等比数列中，，，

所以公比，

所以，解得，故，

易得单调递减，且，

因为，，

所以当时，，当时，，

所以当取得最大值时，．

故答案为：6

16．（2023·辽宁·校联考模拟预测）若数列是等比数列且，，，则______.

【答案】

【解析】设等比数列的公比为q，则，

则，

当时，

.

因为也适合上式，所以.

故答案为：.