八年级数学下册专题9.3《中位线》专项训练30题（原卷版+解析版）

专题9.3《中位线》专项训练30题（每日打卡·天天练系列）（苏科版）（解析版）

一．选择题（共5小题）

1．如图，、、是各边的中点，若的周长为12，则的周长为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】根据三角形的中位线性质得出，，，根据的周长为12得出，再求出的周长即可．

【解答】解：、、是各边的中点，

，，，

的周长为12，

，

的周长是，

故选：．

2．如图是一块等腰三角形空地，已知点，分别是边，的中点，量得米，米，若用篱笆围成四边形来放养小鸡，则需要篱笆的长是　　

A．22米 B．17米 C．14米 D．11米

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出的长，利用四边形的周长得到即可．

【解答】解：点，分别是边，的中点，米，

米，

米，米，

篱笆的长米．

故选：．

3．如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，若，．，分别是，的中点，则的长为　　

A．1 B．1.5 C．2 D．4

【分析】如图，延长交于，首先利用勾股定理求得的长度；然后利用平行线的性质和角平分线的性质推知，则判定；最后利用三角形中位线定理分别求得和的长度，求差即可．

【解答】解：如图，延长交于，

，，，

．

，是的平分线，

，．

．

．

，分别是，的中点，

是的中位线，是的中位线．

，．

．

故选：．

4．如图，中，平分，是中点，，，，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：延长交于，

在和中，

，

．

，，

，

，，

，

故选：．

5．如图，是的中位线，，是斜边边上的中线，和相交于点，则下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逐项分析即可．

【解答】解：是的中位线，

，且，

是斜边边上的中线，

，

，故选项正确；

，，

，故选项正确；

，，，分别是，，中点，

，，

，

，

又，

，故选项正确；

，

，

是的中位线，

，

即，故选项错误，

故选：．

二．填空题（共5小题）

6．一个三角形的周长是，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为　　．

【分析】先画出图形，由三角形的中位线定理可知：，，，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．

【解答】解：根据题意，画出图形如图示，

点、、分别是、、的中点，

、、都是的中位线，

，，，

的周长是，

，

．

故答案是：．

7．如图，在四边形中，，，平分，且，点为边中点，，则的面积为 　12　．

【分析】过作于，由角平分线的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由三角形面积公式即可得出结论．

【解答】解：如图，过作于，

，

，

平分，

，

，

，

点为边中点，，

，

，

故答案为：12．

8．在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为，的中点，则的最小值是　　．

【分析】当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．

【解答】解：连接，

点、分别为，的中点，

，

当时，的值最小，此时的值也最小，

由勾股定理得：，

，

，

，

故答案为：．

9．如图，中，，分别是，的中点，是延长线上的一点，且，若，，则的长为 　8　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据三角形中位线定理求得，则．

【解答】解：在直角中，是斜边上的中线，，则．

在中，是中位线，，则．

则．

故答案是：8．

10．如图，在中，，、、分别是、、的中点，若，则　4　．

【分析】由直角三角形斜边上的中线求得斜边的长度，然后根据三角形中位线定理求得．

【解答】解：如图，在中，，是中线，

．

又、分别是、的中点，

是的中位线，

．

，

．

故答案是：4．

三．解答题（共20小题）

11．已知：如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，、分别是、的中点，分别交、于点、．求证：．

【分析】取边的中点，连接，，则根据三角形的中位线定理，即可证得是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得，然后根据平行线的性质证得，根据等角对等边即可证得．

【解答】解：取边的中点，连接，，

、分别是、的中点，

，，

同理：，，

，

，

，

同理，，

．

12．已知：中，是上的一点，、、、分别是、、、的中点，

求证：、互相平分．

【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到、互相平分．

【解答】证明：连接，，，

、、、分别是、、、的中点，

，，．

四边形为平行四边形．

，分别为其对角线，

、互相平分．

13．如图，在中，是高，、分别是、的中点，与有怎样的位置关系，证明你的结论．

【分析】根据三角形中位线定理得出，进而解答即可．

【解答】解：，

、分别是、的中点，

，

是高，

，

．

14．已知：如图，，、分别是、的中点．

求证：，．

【分析】连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出结论．

【解答】证明：如图所示，连接，，

，是的中点．

中，，

中，，

，

又是的中点，

．

综上所述，，．

15．如图，在中，，是边的中点．．

求证：是边的中点．

【分析】证是的中位线，即可得出结论．

【解答】证明：，

，

，

，

是边的中点，

是的中位线，

是边的中点．

16．已知：如图，在中，，、、分别是、、的中点．求证：．

【分析】由于中，，、、分别是、、的中点．故，是的中位线，故，所以．

【解答】证明：在中，是斜边的中点

，

、分别是、的中点，

是三角形的中位线，

17．如图，在中，平分，于点，点是的中点．

（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；

（2）如图2，写出线段、、的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

（2）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

．

（2）结论：，

理由：如图2中，延长交的延长线于点．

，

，

，，

，

，

，，

，，

．

18．证明：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．已知：　在中，、分别是、的中点　．

求证：　　．

证明：

【分析】延长到，使得，连接，先证，得，，再证四边形为平行四边形，得，，即可解决问题．

【解答】已知：如图，在中，、分别是、的中点．

求证：，，

证明：延长到，使得，连接，

是的中点，

，

在和中，

，

，，

，

，

是的中点，

，

．

，

四边形为平行四边形，

，，

，

．

，，

，．

故答案为：在中，、分别是、的中点，

19．如图，已知四边形的对角线与相交于点，且，、分别是、的中点，分别交、于点、．你能说出与的大小关系并加以证明吗？

【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．

【解答】解：相等．理由如下：

取的中点，连接，，

、分别为、的中点，

是的中位线，

，

同理可得，，

，

．

，

又，，

，

．

20．如图，中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，且．

（1）求证：；

（2）若，，求四边形的周长．

【分析】（1）根据三角形中位线定理和根据平行四边形的判定和性质得出对边相等得出结论．

（2）由三角形的中位线定理得到的长度，进而解答即可．

【解答】（1）证明：，点是中点，

，

，

，

，

，

点是中点，

，

四边形是平行四边形，

；

（2），，

，，

，

，

，

四边形的周长为．

21．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．画出图形，写出已知和求证，并证明．

【分析】把命题的结论作为求证的内容，延长至，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形，即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．

【解答】解：已知：如图，在中，、分别为边、的中点，

求证：且．

证明：延长至，使，连接，

是中点，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，，

，．

22．如图，是的角平分线，于，是的中点，

（1） 求证：；

（2） 猜想：、、三个角之间的关系， 并加以证明 ．

【分析】（1） 延长交于，证明，得到是的中点， 根据三角形中位线定理证明；

（2） 利用 （1） 中全等三角形的对应角相等和三角形外角定理推知：．

【解答】证明： （1） 延长交于，

在和中，

，

，

是的中点， 又是的中点，

是的中位线，

；

（2） 解：． 理由如下：

由 （1） 知，

．

又，

．

23．如图，四边形中，已知，点、分别为、的中点，延长、，分别交射线于、两点．求证：．

【分析】如图，连接，作的中点，连接、．利用三角形中位线定理证得是等腰三角形，则．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知，．根据等量代换证得．

【解答】证明：如图，连接，作的中点，连接、．

点是的中点，

在中，，，

同理可证：，．

，

又，

，

，

．

24．如图，在中，点是边的中点，点，分别在，上，且，．

（1）求证：；

（2）已知，连接，若平分，，求四边形的面积．

【分析】（1）根据已知条件得到四边形是平行四边形，求得，等量代换即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，推出四边形是菱形，过作于，于是得到结论．

【解答】（1）证明：，，

四边形是平行四边形，

，

点是边的中点，

，

；

（2）解：平分，

，

，

，

，

，

四边形是菱形，

过作于，

，，

，

四边形的面积．

25．在中，、分别是，的中点，作的角平分线

（1）如图1，若的平分线恰好经过点，猜想是怎样的特殊三角形，并说明理由．

（2）如图2，若的平分线交线段于点，已知，，求的长度．

（3）若的平分线交直线于点，直接写出、、三者之间的数量关系．

【分析】（1）根据三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质证明，得到答案；

（2）根据（1）的结论计算即可；

（3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：（1）、分别是，的中点，

，，

，

是的角平分线，

，

，

，

，

是等腰三角形；

（2）由（1）得，，，

；

（3）当点在线段上时，由（2）得，；

当点在线段的延长线上时，．

26．如图，在中，平分，于点，点是的中点．

（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；

（2）如图2，请直接写出线段、、的数量关系．

【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

（2）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，

平分，于点，

是等腰三角形，

，

，

．

（2）结论：，

理由：如图2中，延长交的延长线于．

，

，

，，

，

，

，

，

为的中点，

，

点为的中点，

，

．

27．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据证明，推出，即可得出答案；

（2）证得四边形是平行四边形，得到，进而证得，再证得四边形是平行四边形，即可得到四边形是矩形．

【解答】（1）证明：是的中点，

，

，

．

在和中，

，

，

．

是边上的中线，

，

；

（2）解：四边形是矩形．

证明：连接，

由（1）得，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

由（1）得，，

四边形是平行四边形，

四边形是矩形．

28．如图，在中，，，，、分别是、的中点，延长至点，使，连结、、，求的长．

（1）求的长；

（2）直接写出的面积为 　18　．

【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可；

（2）利用三角形面积公式解答．

【解答】解：（1）连接，

在中，，是的中点，

，

，分别是、的中点，，

，，

，

，

，

，

四边形为平行四边形，

；

（2）由（1）知，，则．

在直角中，，，，则．

是的中点，

．

．

故答案为：18．

29．已知，如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．

（1）求证：；

（2）若，平分，，求的长．

【分析】（1）根据三角形的中位线的，根据直角三角形斜边上的中位线求出，即可得出答案；

（2）求出，根据角平分线的定义求出，求出，，求出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出即可．

【解答】（1）证明：，为的中点，

，

、分别为、的中点，

，

，

；

（2）解：，平分，

，

，为的中点，

，

，

，

、分别为、的中点，，

，，

，

，

即是等腰直角三角形，

由勾股定理得：．

30．如图，在中，、分别是、的中点，延长交的外角的平分线于点．与有怎样的位置关系？证明你的结论．

【分析】利用三角形中位线定理推知．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得．又由，则是中边上的中线，且，则是直角三角形．

【解答】解：，

理由：、分别是、的中点，

是的中位线，，

，

．

平分，

，

，

．

又，

是中边上的中线，且，

是直角三角形，

．