第二单元 因数与倍数——2022-2023学年五年级下册数学人教版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

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人教版数学五年级下册

第二单元 因数与倍数




知识点01：因数和倍数
1. 整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2. 因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
（1）数 a 能被 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它
本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
知识点02：2、3、5 的倍数特征
1. 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是2的倍数。
2. 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3. 个位上是0或5的数，是5的倍数。
4. 能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求 2×3×5=30的倍数。
5. 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
6. 完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6 的因数有：1、2、3（6 除外），刚好 1+2+3=6，所以 6 是完全数，小的完全数有 6、28 等。
7. 自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是 0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0。
关系：奇数+、- 偶数=奇数；奇数+、- 奇数=偶数；偶数+、-偶数=偶数。
知识点03：质数和合数
1. 自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类。
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
①只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
②最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是 2、3。
③每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数；质数×质数=合数。
2. 最大、最小
A 的最小因数是：1；A 的最大因数是：A；A 的最小倍数是：A；最小的自然数是：0；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的合数是：4；
3. 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）。
4. 互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5 和 7；两个合数的互质数：8 和 9；一质一合的互质数：7 和 8。
两数互质的特殊情况：
①1和任何自然数互质；②相邻两个自然数互质；③两个质数一定互质；④2和所有奇数互质；⑤质数与比它小的合数互质。
5. 公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来） ，几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
6. 公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来），
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 。
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
7. 求最大公因数和最小公倍数方法（用 12 和 16 来举例）
①求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12 的因数有：1、12、2、6、3、4；16 的因数有：1、16、2、8、4。最大公因数是 4。
最小公倍数的求法：12 的倍数有：12、24、36、48、… 16 的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是 48。
②求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3；16=2×2×2×2，最大公因数是：2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）

考点01：因数和倍数

【典例分析01】实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明
王一
许强
张雪
41棵
43棵
45棵
47棵
【分析】根据找一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6……，一个数的倍数的个数是无限的。
【解答】解：经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
【点评】此题考查了找一个数的倍数的方法的应用。

【变式训练01】将下列数填在合适的圈内。

【分析】根据整数除法的计算方法解答，看看题目所给的数据，哪些可以被5整除就是5的倍数，末尾有0和5的数是5的倍数；被7整除的数就是7的倍数，即可被5整除也可被7整除就同时是5和7的倍数，据此解答。
【解答】解：如图：

【点评】本题考查了求一个数的倍数的方法。
【变式训练02】两个自然数的各位数字都只用了1，4，6，9这四个数字，有可能其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍吗？
【分析】一个自然数恰好是另一个自然数的17倍，则这样的两个数存在，则其中一个数的个位数字是另一个数个位数字与17乘积的个位数字。
【解答】解：假设组成的两个自然数中有这么两个数字能使其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍，
则1×17＝17，4×17＝68，6×17＝102，9×17＝153；观察这几个数字的个位为7、8、2、3，没有题中给定的数字，则不存在这样的两个数满足题目的要求。
故不可能使其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍。
【点评】本题是一道有关因数和倍数的意义的题目。
【变式训练03】把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完．盒子的个数可能是多少？如果有67个球呢？
【分析】首先根据题意，要求盒子的个数可能是多少，也就是求64、67的因数各有多少个；然后根据找一个数的因数，可以一对一对的找，把64、67写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是64、67的因数，然后从小到大依次写出，判断出盒子的个数可能是多少即可．
【解答】解：因为64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8，
所以把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完．盒子的个数可能是：
1、2、4、8、16、32、64．
因为67是一个质数，因数只有1和67，
所以把67个球平均装在一些盒子里，刚好装完．盒子的个数可能是1和67．
答：把64个球平均装在一些盒子里，刚好装完．盒子的个数可能是：1、2、4、8、16、32、64；把67个球平均装在一些盒子里，刚好装完．盒子的个数可能是1和67．
【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握．
考点02：2、5、3的倍数的特征

【典例分析02】有下面规格的盒子，选哪种盒子正好能把60个苹果装完？为什么？

【分析】根据2、3、5的倍数特征，60是5、6的倍数，因此，只能用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【解答】解：60÷5＝12（个）
60÷6＝10（个）
60÷7＝8（个）…4（个）
60÷8＝7（个）…4（个）
答：用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【点评】本题是考查2、3、5的倍数特征，60是5和6的倍数。

【变式训练01】把下面的数填到相应的圈内。
16、18、30、15、24、25。

【分析】根据3和5的倍数特征进行判断解答。3的倍数特征是各个数位上的数相加的和能被3整除；5的倍数特征是末尾有0或5的数；3和5的倍数特征是末尾有0或5，且每个数位上的数相加的和能被3整除。
【解答】解：如图：

【点评】本题考查了3和5的倍数特征。
【变式训练02】从0，3，5，2这四个数字中选三个排成是5的倍数的三位数，你有几种排法？（至少写出6个）
【分析】5的倍数必需个位上是0或5，据此写数即可。
【解答】解：组成的三位数中5的倍数有：530、350、320、230、520、250、305、205、325、235；
一共有10个。
答：从0，3，5，2四个数中选三个数排成是5的倍数的三位数有：530、350、320、230、520、250、305、205、325、235。
【点评】解决本题的关键是明确5的倍数个位上是0或5。
【变式训练03】王老师买了一些文具盒和钢笔，付给售货员100元，找回18元，售货员找给王老师的钱对吗？说一说你的理由

【分析】观察图可知：文具盒的单价是5元，钢笔的单价是10元，都是5的倍数；所以花的钱数也是5的倍数，那么它们的和也一定是5的倍数，先用总钱数减去找回的钱数，得出花的钱数，看是否是5的倍数，从而解决问题．
【解答】解：文具盒的单价是5元，钢笔的单价是10元，都是5的倍数，无论怎么购买，花的总钱数也是5的倍数；
100﹣18＝82（元）
82不是5的倍数，不可能是花的总钱数，
所以售货员找给王老师的钱不对．
【点评】解决本题根据5的倍数的特点，找出花的钱数应是5的倍数，从而解决问题．
考点03：质数和合数

【典例分析03】一个长方形的长和宽是两个连续的合数，这个长方形的面积是72平方厘米，它的周长是多少厘米？
【分析】首先把72分解质因数，然后根据这两个数是连续的合数求出长和宽，再根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：72＝8×9
8和9都是合数，
（9+18）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：这个长方形的周长是34厘米。
故答案为：34厘米。
【点评】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用，关键是求出长方形的长和宽。

【变式训练01】一个数的因数里，既含有最小的质数，又含有一位数中最大的合数，这个数最小是 　18　。
【分析】一个数的因数里，既含有最小的质数，又含有一位数中最大的合数，这个数最小是最小质数和一位数最大合数的最小公倍数。
【解答】解：最小的质数是2，一位数中最大的合数是9，同时有2和9两个因数的数，最小是18。
故答案为：18。
【点评】解答此题需要掌握最小的质数是2，一位数中最大的合数是9，以及求2和9的最小公倍数的方法。
【变式训练02】在29、36、90、45、102、71中，　29、71　是质数，　36、90、45、102　是合数，　90、45　既是3的倍数又是5的倍数。
【分析】根据3、5的倍数的特征：各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。
根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，解答即可。
【解答】解：在29、36、90、45、102、71中，29、71是质数，36、90、45、102是合数，90、45既是3的倍数又是5的倍数。
故答案为：29、71，36、90、45、102，90、45。
【点评】本题考查是3、5的倍数的数的特征以及质数、合数的意义。注意基础知识的灵活运用。
【变式训练03】两个质数和是20，积是91，求这两个数，如果一个质数和一个合数的和是15，积是36，那这两个数又是多少？
【分析】根据质数与合数的意义，质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数；13是质数，7是质数，13+7＝20，13×7＝91；3是质数，12是合数，3+12＝15，12×3＝36；解答即可．
【解答】解：13+7＝20，13×7＝91，所以这两个质数是13和7；
13是质数，7是质数，13+7＝20，13×7＝91；3是质数，12是合数，3+12＝15，12×3＝36，
所以这两个数是12和3。
【点评】本题主要是考查合数与质数的意义，要判断一个数是合数还是质数，关键要看它的因数的个数．


一．选择题（共6小题）
1．下列数中，（　　）是8的倍数。
A．2 B．12 C．24 D．36
【分析】一个数如果是8的倍数，则这个数除以8的商是非零自然数，且没有余数。
【解答】解：A选项，2除以8不够商1，所以2不是8的倍数；
B选项，12除以8，商1，有余数4，所以12不是8的倍数；
C选项，24除以8，商3，且没有余数，所以24是8的倍数；
D选项，36除以8，商4，有余数4，所以36不是8的倍数。
故选：C。
【点评】解答此题的关键在于掌握倍数的意义。
2．如表是实验小学五年级各班的人数。
班级
（1）班
（2）班
（3）班
（4）班
（5）班
人数
39
41
40
43
42
共有（　　）个班可以平均分成人数相同的小组。（要求每组不止1人，且不止1组）
A．2 B．3 C．4
【分析】这些班的人数中，是合数的可以平均分成每组相同的人数，是质数的就不能分成相同的组数。
【解答】解：39、40、42是合数，可以平均分成人数相同的小组；
41、43是质数，不可以平均分成人数相同的小组，
所以可以平均分成人数相同的小组的班级有3个。
故选：B。
【点评】本题考查了根据质数和合数的性质进行求解。
3．甲数是9，乙数是甲数的9倍，甲数和乙数的关系是（　　）
A．甲÷乙＝9 B．甲×9＝乙 C．乙+甲＝9 D．乙×9＝甲
【分析】求一个数的几倍用乘法计算，根据题意，乙数是甲数的9倍，利用甲数×9就是乙数，据此解答。
【解答】解：根据分析可知：甲数×9＝乙数。
故选：B。
【点评】本题考查了求一个数的几倍是多少的问题。
4．盒子里有36个球，丁丁要按下面的要求拿球：不许一次拿完，也不许一个一个地拿，每次拿的个数要相同，拿到最后一个也不剩。丁丁一共有（　　）种拿法。
A．7 B．8 C．9
【分析】由题意可知，每次拿桃子的个数是30的因数，根据求一个数因数的方法求出30的所有因数，找出符合条件的因数即可。
【解答】解：36＝1×33＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，但1和36不符合题意，所以小明有7种不同的拿法。
故选：A。
【点评】本题主要考查利用因数解决实际问题，求出符合条件的33的因数是解答题目的关键。
5．一些草莓正好放了5盘，每盘同样多，这些草莓可能有（　　）颗。
A．30 B．33 C．28
【分析】根据题意，草莓的总个数一定是盘数的倍数，找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6……，一个数的倍数的个数是无限的，利用此方法找5的倍数选择合适的选项即可。
【解答】解：5×6＝30（个）
答：这些草莓可能有30个。
故选：A。
【点评】本题考查了找一个数倍数的方法。
6．要使3□2是3的倍数，□里应填（　　）
A．3 B．1、4或7 C．2、5或8
【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。
【解答】解：3+2＝5
A.5+3＝8，8不是3的倍数，故舍去；
B.5+1＝6，6是3的倍数；5+4＝9，9是3的倍数；4+7＝12，12是3的倍数，故符合题意；
C.5+2＝7，7不是3的倍数，5+5＝10，10不是3的倍数，5+8＝13，13不是3的倍数，故舍去。
故选：B。
【点评】掌握3的倍数特征是解题的关键。
二．填空题（共6小题）
7．写出30以内7的全部倍数：　7、14、21、28　。
【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、4……，从中找出符合要求的倍数，即可解答。
【解答】解：30以内7的倍数：7、14、21、28。
故答案为：7、14、21、28。
【点评】本题主要考查倍数的求法，注意界定倍数所在的范围。
8．一个数既是15的因数，又是5的倍数，这个数是 　5　或 　15　。
【分析】因为5的倍数有：5，10，15，……；而15的因数最大是它本身。一个数既是5的倍数又是14的因数，即求15以内的5的倍数，那就先求出15的因数和5的倍数，再找共同的数即可。
【解答】解：因为5的倍数有：5，10，15，……
15的因数有：1，3，5，15
所以既是15的因数，又是5的倍数，这个数是5或15。
故答案为：5，15。
【点评】解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法进行分别列举，进而得出结论。
9．在1、2、4、5、13、18、23、35中，质数有 　2、5、13、23　，合数有 　4、18、35　。
【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有别的因数的数是合数，1既不是质数，也不是合数；据此解答。
【解答】解：在1、2、4、5、13、18、23、35中，质数有2、5、13、23，合数有4、18、35。
故答案为：2、5、13、23，4、18、35。
【点评】本题考查质数和合数的意义，利用质数和合数的意义进行解答。
10．从0、2、5、9这4个数中，任意选出三个数字组成三位数，组成的三位数中，既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是 　950　。
【分析】根据2的倍数特征：个位上的数字是02468的数是2的倍数；
根据5的倍数特征：个位上的数字是0或5。
【解答】解：从0、2、5、9这4个数中，任意选出三个数字组成三位数，组成的三位数中是2的倍数的数有：590、950、592、952、520、502、250、902、920、290；
组成的数是5的倍数有：920、290、905、950、925、295；
既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是：950。
故答案为：950。
【点评】此题考查了学生对2、5的倍数特征的掌握情况。
11．六一节，老师为同学们准备了礼物其中有175个魔方，魔方的个数正好是皮球的5倍，皮球有 　35　个。
【分析】根据题意可知，老师为同学们准备了礼物其中有175个魔方，魔方的个数正好是皮球的5倍，求皮球的个数，用175÷5解答即可。
【解答】解：175÷5＝35（个）
答：皮球有35个。
故答案为：35。
【点评】本题考查了整数除法计算知识，结合题意分析解答即可。
12．在3×4＝12中，12是3和4的 　倍　数，3和4是12的 　因　数。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：因为3×4＝12中，所以12是3和4的倍数，3和4是12的因数。
故答案为：倍，因。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
三．判断题（共5小题）
13．把1，2，3这三个数字，无论怎样排列成三位数，都是3的倍数。 　√　
【分析】据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。1、2、3三个数字之和是3的倍数，因此，用这三个数不论怎样组数都是3的倍数，解答判断即可。
【解答】解：1+2+3＝6，6是3的倍数，
因此，用1、2、3三个数字组成的三位数一定是3的倍数。
所以“把1，2，3这三个数字，无论怎样排列成三位数，都是3的倍数”的说法是正确的。
故答案为：√。
【点评】本题是考查3的倍数特征，属于基础知识。
14．因为23×3＝69，所以23和3是69的因数，69是23和3的倍数。 　√　
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：因为23×3＝69，所以23和3是69的因数，69是23和3的倍数。说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
15．0除外，1是所有整数的因数。 　√　
【分析】根据因数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此判断。
【解答】解：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
由此可知，0除外，1是所有整数的因数。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握因数的意义及应用。
16．16的因数一定比16的倍数小。 　×　
【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。
【解答】解：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，因此16的因数一定比16的倍数小的说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题要明确：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。
17．一个合数至少有三个因数，它的最大因数与最小倍数相等。 　√　
【分析】自然数中，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数。由此可知，一个合数除了1和它本身外，至少还要有一个因数，即至少有3个因数，如4，有1，2，4三个因数。
一个数的因数是有限的，它的最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，找不到最大的倍数。
【解答】解：由分析可知，一个合数至少有三个因数，它的最大因数与最小倍数相等，说法正确。
故答案为：√。
【点评】（1）本题重点考查了学生对于合数意义的理解。
（2）此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义，明确：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。
四．应用题（共5小题）
18．小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到188，请你帮助他纠正错误，看正确的结果是多少？
【分析】根据最小的合数是4，最小的质数是2，和乘与除的互逆运算，解答此题即可。
【解答】解：188÷2＝94
94×4＝376
答：正确的结果是376。
【点评】知道最小的合数是4，最小的质数是2，是解答此题的关键。
19．妈妈在水果超市买来62个芒果，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【分析】如果芒果总个数是每袋装的个数的倍数，则能正好装完，如果芒果总个数不是每袋装的个数的倍数，则不能正好装完。
【解答】解：因为62是2的倍数，用62除以商是整数，且没有余数，所以每袋装2个，正好能装完。
因为62不是5的倍数，用62除以5不能商是整数，且没有余数，所以每袋装5个，不能正好装完。
【点评】此重点考查整除在生活中的运用能力。
20．一个小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐他付了100元，售货员阿姨找回了18元。已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？
【分析】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。
【解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。
答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。
【点评】此题考查了5的倍数的特征以及实际运用，要熟练掌握。
21．实验小学为鼓励学生阅读，新购进一批图书，数量在100到200之间，并且比26的倍数多13本．实验小学新购进图书最多有多少本？
【分析】找出在100到200之间26的倍数，即可得出实验小学新购进图书最多有多少本．
【解答】解：100到200之间26的倍数有：104、130、156、182，
182+13＝195（本），
因为100＜195＜200，
所以实验小学新购进图书最多有195本．
答：实验小学新购进图书最多有195本．
【点评】本题主要考查了找一个数的倍数，正确找出100到200之间26的倍数是解答此题的关键．
22．李老师和同学们折纸鹤，每人折的只数相同，一共折了473只纸鹤。这个班有学生多少人？每人折纸鹤多少只？
【分析】因为每人折纸鹤的只数乘这个班学生人数，可得一共折了多少只纸鹤，可得每人折纸鹤的只数和这个班学生人数都是473的因数，找出473的因数，再解答即可。
【解答】解：473＝11×43
根据实际情况可得学生有43﹣1＝42（人）
答：这个班有学生42人，每人折纸鹤11只。
【点评】本题主要考查了找一个数的因数的方法，关键是找出473的因数。

一．选择题（共6小题）
1．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和等于这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，6＝1+2+3，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（　　）
A．16 B．20 C．28 D．36
【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”的规律。
【解答】解：16的因数有：1；16；2；8；4。1+2+4+8＝15，不是“完全数”。
20的因数有：1；20；2；10；4；5。1+2+4+5+10＝22，不是“完全数”。
28的因数有：1；28；2；14；4；7。1+2+4+7+14＝28，是“完全数”。
36的因数有：1；36；2；18；3；12；4；9；6。1+2+3+4+6+9+12+18＝55，不是“完全数”。
故选：C。
【点评】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。
2．一个数既是6的倍数，又是72的因数，这个数是（　　）
A．144 B．48 C．36 D．3
【分析】根据找一个数倍数的方法找出6的倍数，根据找一个数因数的方法找出72的因数。
【解答】解：6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48，6×9＝54，6×10＝60，6×11＝66，6×12＝72，......
所以6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、......
72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
所以72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；
因此一个数既是6的倍数，又是72的因数，这个数有6、12、18、24、36、72。
故选：C。
【点评】此题需要学生熟练掌握求一个数因数和倍数的方法。
3．100以内，8的倍数有（　　）个。
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6、......，一个数的倍数的个数是无限的。
【解答】解：100以内，8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96。
所以100以内，8的倍数有12个。
故选：C。
【点评】熟练掌握求一个数倍数的方法是解答本题的关键。
4．个位上是（　　）的数都是2和5的倍数。
A．0、2、4、6、8 B．5和0 C．0
【分析】2、5的倍数的数的特征：是2的倍数的数的个位是0、2、4、6、8，是5的倍数的数个位不是0就是5。
【解答】解：根据是2、5的倍数的数的特征，可得2和5的倍数一定是个位上是0的数。
故选：C。
【点评】此题主要考查了是2、5的倍数的数的特征。
5．一个三位数19□，是2和5的倍数，□里应填（　　）
A．2 B．0 C．5 D．6
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数，同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0。据此解答即可。
【解答】解：一个三位数19□，是2和5的倍数，□里应填0。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用，关键是明确：同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0。
6．两个不相同的质数相乘，积的因数有（　　）个。
A．2 B．3 C．4
【分析】任意两个不同的质数相乘的积的因数有：这两个质数，1，这两个数的积，可以举例说明。
【解答】解：两个不相同的质数相乘，积的因数有4个。
故选：C。
【点评】本题主要考查两个质数的积的因数的个数，注意两个质数积的因数有4个：这两个质数，1，这两个数的积。
二．填空题（共6小题）
7．48的因数有 　1、2、3、4、6、8、12、16、24、48　，其中质数有 　2、3　，合数有 　4、6、8、12、16、24、48　。48的最大因数是 　48　。
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
【解答】解：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中质数有2、3，合数有4、6、8、12、16、24、48，48的最大因数是48。
故答案为：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；2、3；4、6、8、12、16、24、48；48。
【点评】关键是掌握一个数的因数的求法，理解质数、合数的分类标准。
8．用4，5，7这三个数字组成的两位数，是2的倍数的有 　54、74　，是3的倍数的有 　45、54、57、75　，既有因数3，又有因数5的数有 　45、75　。
【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各个数位上的数字相加的和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【解答】解：用4，5，7这三个数字组成的两位数，是2的倍数的有54、74，是3的倍数的有45、54、57、75，既有因数3，又有因数5的数有45、75。
故答案为：54、74，45、54、57、75，45、75。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用。
9．一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是 　25或70　。
【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数都是5的倍数。一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是25或70。据此解答。
【解答】解：一个两位数是5的倍数，个位和十位上的数字之和是7，这个两位数是25或70。
故答案为：25或70。
【点评】此题考查的目的是理解掌握5的倍数的特征及应用。
10．12有 　6　个因数，20的最小倍数是 　20　。
【分析】根据找一个数因数找出12的因数；
一个数的最小倍数是它本身。
【解答】解：12＝1×12＝2×6＝3×4
12的因数有：1、2、3、4、6、12，共6个；
20的最小倍数是20。
故答案为：6；20。
【点评】此题需要学生熟练掌握找一个数因数的方法，熟记一个数的最小倍数是它本身。
11．11的因数有 　1、11　。12的因数有 　1、2、3、4、6、12　。
【分析】根据找一个数因数的方法分别找出11和12的因数。
【解答】解：11＝1×11
11的因数有1、11；
12＝1×12＝2×6＝3×4
12的因数有1、2、3、4、6、12。
故答案为：1、11；1、2、3、4、6、12。
【点评】此题需要学生熟练掌握求一个数因数的方法。
12．如果56÷7＝8，那么56是7的 　倍数　，8和7是56的 　因数　。
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，被除数是商和除数的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。
【解答】解：因为56÷7＝8，所以56是7的倍数，8和7是56的因数。
故答案为：倍数；因数。
【点评】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。
三．判断题（共5小题）
13．在五个连续的自然数中，必有一个是5的倍数．　√　
【分析】5的倍数，即能被5整除的数是个位是0或是5的数字，五个连续的自然数，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一个数的个位是0或5；因此得解．
【解答】解：五个连续的自然数中必有一个数是5的倍数，所以本题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查能被5整除的数的特征及运用．
14．6有3个因数，最大的因数是3。 　×　
【分析】根据找一个数因数的方法找出6的因数，然后进行判断。
【解答】解：6＝1×6＝2×3
6的因数有1、2、3、6，共4个，最大的因数是3；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题需要学生熟练掌握求一个数因数的方法。
15．如果两个数都是同一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍。 　√　
【分析】假设a和b都是c的倍数，也就是说a和b都是c的整数倍，则（a+b）也是c的整数倍；可以举例说明。
【解答】解：6和12都是3的倍数，那么：
（6+12）÷3
＝18÷3
＝6
所以如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍数；故此题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题主要考查的是倍数的应用；如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍数。
16．1不是质数，也不是合数．　√　
【分析】根据约数的个数把除0外的自然数分为三类，只有一个约数的是1；只有1和它本身两个约数的叫做质数，有3个以上约数的叫做合数，所以1既不是质数也不是合数，据此解答．
【解答】解：在自然数中，1既不是质数，也不是合数，说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要根据质数、合数的意义解决问题．
17．27□既是2的倍数，又是3的倍数，□中最大可填8。 　×　
【分析】27□是2的倍数这个数就是偶数；27□是3的倍数，各个位上数字的和就是3的倍数，2+7＝9，找出9与□的和是3的倍数时□里面应填的数，从中找出最大的即可。
【解答】解：27□既是2的倍数那么个位上的数就是偶数；
27□是3的倍数，2+7+□的和就是3的倍数；
因为2+7＝9，
9+0＝9，9+6＝15，9和15都是3的倍数，□里面可以填的偶数是0，6；最大是6。
所原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查的是能同时被2、3整除的数的特征。
四．应用题（共5小题）
18．一个长方形周长是20cm，这个长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少？
【分析】根据“长方形的一条长和宽的和＝周长÷2”计算出一条长和宽的和是：20÷2＝10厘米，长和宽都是质数，找出相加等于10的质数，然后根据长方形的面积＝长×宽分别计算得出即可。
【解答】解：20÷2＝10（厘米 ）
不相等的两个指数相加等于10的只有：3+7＝10
长与宽的值都是质数的是3厘米和7厘米
所以这个长方形的长是7厘米，宽是3厘米
面积是7×3＝21（平方厘米）
答：这个长方形的面积是21平方厘米。
【点评】此题考查的是长方形周长和面积计算的灵活运用情况，还考查了对质数的掌握情况。
19．便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。
【解答】解：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。
因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
20．明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？

【分析】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。
【解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。
答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。
【点评】此题考查了5的倍数特征以及实际运用，要熟练掌握。
21．超市把一些苹果打包装进盒子里，每盒装4个苹果，正好装完；每盒装3个苹果，则多出2个。已知苹果的数量不超过30个，这些苹果可能有多少个？
【分析】每盒装4个苹果，正好装完；那么苹果个数就是4的倍数，每盒装3个苹果，则多出2个，同时又是3的倍数与2的和，由此解答即可。
【解答】解：每盒装4个苹果，正好装完；数量可能是4、8、12、16、20、24、28、32、36……
每盒装3个苹果，则多出2个；数量可能是5、8、11、14、17、20、23、26、29……
两种分法都出现且不超过30的数是8和20，所以可能是8个或20个。
【点评】此题主要考查倍数的知识，明确要求的数即：苹果个数就是4的倍数，同时又是3的倍数加2，是解答此题的关键。
22．合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况）
【分析】要求每排多少人，可以站多少排，实际上就是求32的因数有哪些，据此回答。
【解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×8
32的因数有：1、2、4、8、16、32；
因为不包括每排一人或32人站一排的情况，
所以可以这样排列：
每排2人，站16排；
每排16人，站2排；
每排4人，站8排；
每排8人，站4排；
答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。
【点评】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，灵活运用解决问题。

一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•阳信县期末）根据96÷24＝4，下列叙述正确的是（　　）
A．96是倍数 B．96是4的倍数
C．24 是因数 D．以上叙述均正确
【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，因数和倍数相互依存，不能单独存在。
【解答】解：根据96÷24＝4，上列叙述正确的是96是4的倍数，4是96的因数。
故选：B。
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。
2．（2022春•路南区期末）下面每组中两个数都是5的倍数的是（　　）
A．15和51 B．25和31 C．70和59 D．90和95
【分析】根据5的倍数的特征：末尾是0或5的数，由此解答即可。
【解答】解：面每组中两个数都是5的倍数的是90和95。
故选：D。
【点评】明确5的倍数的特征，是解答此题的关键。
3．（2020春•楚雄州期末）要使17□成为3的倍数，□里不能填（　　）
A．3 B．4 C．7
【分析】3 的倍数的特征：各个数位上是数字和能被3整除。
【解答】解：要使17□成为3的倍数，□里可以填：1、4、7。
故选：A。
【点评】一个数是不是3的倍数，就看各个数位上是数字和能能不能被3整除。
4．（2022秋•罗湖区期中）下面各数中，因数个数最多的是（　　）
A．24 B．21 C．18 D．91
【分析】根据找配对的方法分别找出各数的所有因数，再比较个数即可。
【解答】解：A.24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个；
B.21＝1×21＝3×7，所以21的因数有：1、3、7、21，共4个；
C.18＝1×18＝2×9＝3×6，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个；
D.91＝1×91＝7×13，所以91的因数有：1、7、13、91，共4个。
所以24的因数个数最多。
故选：A。
【点评】此题需要学生熟练掌握求一个数因数的方法。
5．（2022秋•胶州市期末）最小的质数与最小的合数的积是（　　）
A．6 B．8 C．4
【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数。除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数。由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4。
【解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4。
2×4＝8
答：最小的质数与最小的合数的积是8。
故选：B。
【点评】本题主要考查了学生对于质数与合数意义的理解和求一个数的因数的方法，质数与合数是根据一个数的因数的个数进行定义的。
6．（2021春•河东区期末）在自然数中，凡是5的倍数（　　）
A．一定是质数
B．一定是合数
C．可能是质数，也可能是合数
【分析】自然数中所有5的倍数的尾数都是0或5，即它们既可以是奇数，也可以是偶数，5是质数，10是合数，所以有可能是质数，也有可能是合数。
【解答】解：在自然数中，凡是5的倍数，可能是质数，也可能是合数。
故选：C。
【点评】一个数的最小倍数是它本身，所有质数的最小倍数都是本身，都是质数。
二．填空题（共6小题）
7．（2021秋•镇巴县期末）五年级有48名同学报名参加植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干个小组，要求组数大于3，小于10，共有 　3　种分法。
【分析】根据题干可知：分成人数相等的若干小组（组数大于3），那么这里只要求出48的因数中大于3的即可解决问题。
【解答】解：组数大于3，小于10：
48＝3×16
48＝4×12
48＝6×8
所以有3中分法。
故答案为：3。
【点评】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
8．（2021秋•绥德县期末）根据5×8＝40可知，　40　是 　5　和 　8　的倍数。
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【解答】解：因为5×8＝40，所以40是5和8的倍数。
故答案为：40，5，8。
【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
9．（2021秋•英德市期末）一个数比30大，比50小。如果这个数即是3的倍数又是5的倍数，那么它是 　45　。如果这个数是5的倍数，又是偶数，它是 　40　。
【分析】各个数位上的数字之和是3的倍数这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数，这个数是5的倍数，又是偶数，说明这个数的个位上是0，据此填空。
【解答】解：这个数即是3的倍数又是5的倍数，说明这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，并且个位上是0或5，即4+5＝9，9是3的倍数，5写在个位上，这个数也是5的倍数，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是45。如果这个数是5的倍数，又是偶数，它就是40。
故答案为：45，40。
【点评】此题考查了2、3、5的倍数特征以及奇数、偶数的认识，需要牢记并能灵活运用。
10．（2022秋•临湘市期中）小青蛙每跳一步的距离是5分米，现在它在离河30分米的岸上。小青蛙至少要跳 　6　次才能到河里。
【分析】求小青蛙至少要跳几次才能到河里，就是求30里面有几个5，用除法计算。
【解答】解：30÷5＝6（次）
答：小青蛙至少要跳6次才能到河里。
【点评】本题主要考查了除法的意义，求一个数里面有几个另一个数，用除法计算。
11．（2022秋•交城县期中）一个两位数，是一个质数。个位数字与十位数字的积是18。这个两位数是 　29　。
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。先将个位数字与十位数字的乘积为18的可能性写出，再排除即可。
【解答】解：18＝2×9＝3×6
这个两位数可能是29、92、36、63；
根据质数的定义，只有29是质数，所以这个两位数是29。
答：这个两位数是29。
故答案为：29。
【点评】本题主要考查了质数的认识，关键是将个位数字与十位数字的乘积为18的可能性写出，再分析。
12．（2022秋•福清市期中）一个教室配5台电风扇，5个教室配 　25　台电风扇。
【分析】一个教室配5台电风扇，5个教室配多少台电风扇，就是求5个5，即5乘5。
【解答】解：5×5＝25（台）
答：5个教室配25台电风扇。
故答案为：25。
【点评】解决本题根据乘法的意义：求几个几是多少，用乘法求解。
三．判断题（共5小题）
13．（2022秋•胶州市期末）同时是2，3和5的倍数的数，个位上一定是0。 　√　
【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数，由此可知：同时是2和5的倍数的数个位上一定是0，据此判断。
【解答】解：同时是2，3和5的倍数的数，个位上一定是0，说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征。
14．（2022春•曾都区期末）29的因数比10的因数多。 　×　
【分析】根据找一个数的因数的方法，分别列举出29、10的因数，再把它们因数的个数进行比较，据此判断。
【解答】解：29的因数：1，29；共2个；
10的因数：1，2，5，10；共4个；
29的因数比10的因数少。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】掌握求一个数因数的方法是解题的关键。
15．（2022秋•西乡县期中）因为4×1.5＝6，所以4和1.5是6的因数。 　×　
【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），我们说a是b的倍数，b是a的因数。据此判断。
【解答】解：因为因数与倍数在非0自然数范围内，即a÷b＝c（a、b、c为非0自然数），题中的1.5是小数，所以题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查因数和倍数的意义，学生往往忽略a、b、c为非0自然数这点，容易出错。
16．（2021秋•榆林期末）在自然数1～20中，5的倍数有5个。 　×　
【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数。据此解答。
【解答】解：在自然数1～20中，5的倍数有5、10、15、20，共4个。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。
17．（2022秋•榕城区期中）除7外，所有7的倍数都是合数。 　√　
【分析】根据合数的意义，一个数除了含有1和它本身两个因数外还含有其它因数的，就是合数，7的1倍数还是7，7是质数不是合数，据此解答。
【解答】解：分析可知，除7外，所有7的倍数都是合数。所以本题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了合数的知识，结合题意分析解答即可。
四．应用题（共5小题）
18．（2021秋•子洲县期末）有114个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【分析】能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；再根据能被3、5整除的数的特征进行判断能否正好装完。
【解答】解：114的个位不是0或5，则114不能被5整除，即每5个装一袋，不能正好装完；
1+1+4＝6，6能被3整除，则114能被3整除，所以如果每3个装一袋，能正好装完。
【点评】此题考查能被3、5整除的数的特征及其运用。
19．（2022秋•西乡县期中）把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法需要几个盒子？
【分析】首先找出20的所有因数，再根据哪两个因数相乘是20，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可。
【解答】解：20的因数有：1、2、4、5、10、20；
20＝1×20；一盒20个，装1盒；或每盒装1个，装20盒；
20＝2×10，一盒装10个，装2盒；或每盒装2个，装10盒；
20＝4×5，一盒装4个，装5盒；或每盒装5个，装4盒；
20＝2×10，一盒装2个，装10盒；或每盒装10个，装2盒。
答：一共有8种装法。
【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法的应用。
20．（2021秋•晋城期中）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？

【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。
【解答】解：由题意，根据5的倍数的特征可知找回13元不对。
因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了50元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。
【点评】此题考查了5的倍数特征的实际运用。
21．李青有一张《长津湖》电影票，这张票的排数与座号数的乘积是143，而且排数比座号数大2。请问：李青的电影票是几排几号？
【分析】因为143＝11×13，又因为排数比座号数大2，所以11×（11+2），因此可以求出这张电影票的排好和座位号。
【解答】解：因为143＝11×13
＝11×（11+2）所以小红的电影票是13排11号。
答：李青的电影票是13排11号。
【点评】本题意很简单，利用分解因式的方法，更容易求解。
22．（2021春•阳原县期末）一个长方形的周长是30厘米，长和宽是由一个质数和一个合数组成的，它的面积最大是多少？最小是多少？
【分析】根据长方形的周长公式：周长＝（长+宽）×2，计算出长和宽的总长为15厘米，根据质数和合数的概念，同时满足加起来等于15，可罗列出15是由哪些质数和哪些合数组成的，取长和宽的值，代入计算，得到最大面积和最小面积，据此即可解答。
【解答】解：30÷2＝15（厘米）
3+12＝15
4+11＝15
5+10＝15
7+8＝15
最大：7×8＝56（平方厘米）
最小：3×12＝36（平方厘米）
答：最大是56平方厘米，最小是36平方厘米。
【点评】此题的解题关键是掌握长方形的周长和面积公式，熟悉质数和合数的概念，才能解决碰到的实际问题。