2023届二轮复习 解题方法专题-极值法 学案

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极值法利用数学方法求极值（2022·云南省历年真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　　）A．轻绳的合拉力大小为B．轻绳的合拉力大小为C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小关键信息：匀速移动→受力平衡求解绳子拉力、地面对石墩的摩擦力→选石墩为研究对象轻绳的合拉力最小→极值问题解题思路：石墩受五个力的作用处于平衡状态，多力平衡问题通常采用正交分解，再列平衡方程进行解答。求轻绳的合拉力最小值时，利用数学中的三角函数关系式求解。AB．设轻绳的合拉力大小为T，对石墩受力分析：由平衡条件，在水平方向上有：Tcosθ＝f竖直方向上有：Tsinθ＋N＝mg根据滑动摩擦力公式得：f＝μN联立解得：T＝，故A错误，B正确；C．轻绳的合拉力的大小为：T＝＝，其中tanφ＝，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，即减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；D．摩擦力大小为：f＝Tcosθ＝＝可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；故选B。 （2022湖北历年真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。（1）求C的质量；（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件：mCg＝2mgcos30°解得mC＝（2）C、D碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度为v，根据动量守恒定律：＝×0＋2mv解得：v＝C、D碰撞后D向下运动距离后停止，根据动能定理：0－×2mv2＝2mg－F解得：F＝6.5mg（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，此时轻质长绳与竖直方向的夹角为α，根据运动的合成与分解，AB向上运动的速度为v″＝v′cosα，根据机械能守恒定律：＝令y＝对上式求导数可得：＝当＝0时，y取最大值，即此时A、B、C的总动能最大解得：cosα＝即α＝30°，此时有y＝＝mgL于是有：mCv′2＋2×m(v′cosα)2＝mgL解得：v′2＝此时C的动能为：Ekm＝mCv′2＝(4－)mgL 所谓利用数学方法求极值，即根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式写出需求量与自变量间的数学函数关系式，再利用函数关系式讨论出现极值的条件和极值的大小，常见的利用函数求极值的方法有：1．三角函数法：①y＝asinθ＋bcosθ＝sin(φ＋θ)，当φ＋θ＝90°时，函数有最大值。最大值ymax＝，此时θ＝90°－arctan；②y＝asinθcosθ＝asin2θ，当θ＝45°时，有最大值ymax＝；2．二次函数法：y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，函数有极小值ymin＝；当a＜0时，函数有极大值ymax＝；3．不等式法：y＝（a＞0、b＞0），当ab＝x2时，有最小值ymin＝；4．导数法：对相应函数表达式进行求导，当导数值为零时，函数出现极值。 利用临界条件求极值（2022·北京模拟题）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离0.1m处有一质量为m＝1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为μ＝0.8（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为37°（已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。（1）若ω＝1rad/s，求当小物体通过最高点时所受摩擦力的大小；（2）若ω＝1rad/s，求当小物体通过与圆心等高处时所受摩擦力的大小；（保留两位有效数字）（3）求符合条件的ω的最大值．关键信息：倾斜的匀质圆盘→斜面上的圆周运动圆盘以恒定的角速度转动→圆盘做匀速圆周运动小物体与圆盘始终保持相对静止→小物体与圆盘之间的摩擦力为静摩擦符合条件的ω的最大值→极值问题解题思路：已知角速度时，由牛顿第二定律可得物体所受的合力，进而求得摩擦力；由小物体与圆盘始终保持相对静止的临界条件求解ω的最大值。（1）在最高点，根据牛顿第二定律可得：mgsinθ－Ff1＝mω2r解得：Ff1＝5.9N（2）小物体通过与圆心等高处时，重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力：＝mω2r解得：Ff2≈6.0N（3）由小物体与圆盘始终保持相对静止的临界条件是静摩擦力达到最大值，即Ff3＝μmgcosθ圆盘转速相同时，小物体在最低点所受的摩擦力最大，在最低点，根据牛顿第二定律可得：Ff3－mgsinθ＝mω2r联立解得小物体与圆盘始终保持相对静止的角速度最大值为：ω＝2rad/s （智学精选）汽车在晴天干燥沥青路面上以108km/h的速度匀速行驶时，刹车距离为50m；货车在晴天干燥沥青路面上以72km/h的速度行驶时，刹车距离为40m。若雨天时在沥青路面上汽车与货车所受阻力均为晴天时的0.8倍，则其他条件不变的情况下，雨天时汽车与前方货车在沥青路面上同时刹车的最小安全距离约为（）A．12m B．16m C．20m D．24m晴天时，对汽车有＝2a1x1，其中v1＝108km/h＝30m/s，x1＝50m，对货车有＝2a2x2，v2＝72km/h＝20m/s，x2＝40m，解得a1＝9m/s2，a2＝5m/s2。雨天时两车不相撞的临界条件为v1－0.8a1t＝v2－0.8a2t，解得t＝3.125s。则v共＝v1－0.8a1t＝7.5m/s雨天时汽车与前方货车在沥青路面上同时刹车的最小安全距离为x＝＝15.625m，B正确。故选B。 使用临界条件求极值的问题很多：①追及问题中，两车相距最近（或最远）的临界条件是速度相等；②圆盘上的物体刚要发生滑动时的临界条件是静摩擦力达到最大值，可以求出此时圆盘的最大角速度；③滑块滑板问题中，滑块刚好不滑离木板的临界条件是滑到木板边缘时，刚好共速，往往可以求木板的最小长度；④有界磁场中，不出磁场的临界往往是轨迹与磁场边界相切，可以求半径的最大值；⑤物体做斜抛或类斜抛这类匀变速曲线运动时，速度最小值的临界条件是物体所受合力与速度方向垂直，据此条件可求解相关问题。 利用图像求极值（2022·江苏模拟）如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F等于（）A．mgsinα B．mgsinα C．mgsin2α D．mgsin2α关键信息：光滑斜面→小球无摩擦光滑水平面→地面无摩擦斜面体缓慢向左移动、小球沿斜面缓慢升高→动态平衡线拉力最小→极值问题解题思路：斜面体缓慢地向左移动过程中，小球缓慢上升，则属于动态平衡的问题。运用图解法得到拉力最小的条件和最小值，进而可得推力的值。以小球为研究对象。小球受到重力mg、斜面的支持力N和细线的拉力T，在小球缓慢上升过程中，小球的合力为零，则N与T的合力与重力大小相等、方向相反，根据平行四边形定则作出三个位置力的合成图如下，则得当T与N垂直，即线与斜面平行时T最小，则得线的拉力最小值为Tmin＝mgsinα。再以小球和斜面体组成的整体为研究对象，由平衡条件可知：F＝Tmincosα＝(mgsinα)cosα＝mgsin2α。故选D。 （2022·福建省月考）如图所示，质量M＝ kg的木块套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球相连。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝ N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10m/s2。求：（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ的度数；（2）木块与水平杆间的动摩擦因数；（3）改变α，使球和木块一起向右匀速运动时拉力最小，求α的正切值。（1）对小球体进行分析，如下，水平方向：Fcos30°＝Tcosθ竖直方向：Fsin30°＋Tsinθ＝mg解得θ＝30°（2）对木块与小球体整体分析如下，竖直方向：Fsin30°＋FN＝(M＋m)g水平方向：Fcos30°＝μFN解得μ＝（3）将摩擦力与杆的支持力合成，令该合力F0与水平方向夹角为β，则有tanβ＝＝作出木块与小球体整体受力分析图如下，可知，当F方向与F0方向垂直时，拉力最小，且有tanα＝＝μ＝。 利用图解法求极值一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题、运动的合成等问题，求解常常是通过“垂直线段”距离最短来求最小值。