第19讲 直线、平面平行的判定与性质-2023年高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

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1、直线、平面平行判定定理与性质定理
2. 平面与平面平行判定定理与性质定理
【典型题型讲解】
考点一：线面平行的判定及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，E是的中点.
在线段上找一点M，使得直线平面，并说明理由；
【解析】当点M为线段的中点时，直线平面，理由如下：
如图所示：
分别取PB，PC的中点M，F，连接EM，DF，FM，
因为四边形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD；
例2.如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形．是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面．
在图中画出，写出画法并说明理由；
【解析】如图，在内过作，交于，则直线即为直线．
理由如下：取的中点，连结，，
因为和均为等边三角形，
所以，，所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以直线即为直线．
【方法技巧与总结】
（1）可以拿一把直尺放在这条直线位置（与平齐），
（2）然后把直尺平行往平行平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，画出这条直线，
寻找是中位线或者平行四边形证明线线平行.
【变式训练】
1．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且
为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．
证明：平面；
【解析】【详解】（1）设的中点为，连接，
为的中点，所以为的中位线，
则可得，且；
在梯形中，，且，
，
所以四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
2．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面为棱上的点，且.
求证：平面；
【解析】设点为的一个三等分点，且，连接，如图所示.
，且
又，且，从而可得，且.
综上可知四边形是平行四边形.
平面平面，
平面
3．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，，，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；
【解析】证明：连接，交于，连接，
点为的中点，，
，，，
，，即点为的中点，
又为的中点，，
面，面，
面．
4.如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
证明；平面；
【解析】连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面．
5．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证：平面；
【解析】在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，
则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
6.在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点．
证明：平面；
【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点分别为线段的中点．
所以，
又，
所以，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
7.如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：；
【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，
平面．
又平面，平面平面，
所以．
8.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
设平面平面，证明：；
【解析】因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH．
∵平面PBC，平面平面，∴．
【典型题型讲解】
考点二：面面平行的判定和性质
【典例例题】
例1.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD．
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
例2.四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．
已知，若平面平面，求的值；
【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可知：，
于是，由为的中点知：为的中点，故，
所以．
【方法技巧与总结】
证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
面面平行的定义可以推出线面平行，面面平行性质可以推出线线平行.
【变式训练】
1.在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．求证：平面平面．
【解析】∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，
∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；
同理∥，∵平面，平面，∴∥平面；
又，∴平面∥平面．
2.如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点．
证明：平面平面；
【解析】证明：连接EG，．
因为E，G分别是棱，的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
因为E，F分别是棱，的中点，所以．
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，
所以平面平面．
3.如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
求证：平面平面BDF；
【解析】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面
4.在长方体中，，P为的中点．
已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【解析】依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，
则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，
于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，
所以分别是棱的中点．
5.如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连结DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
6.如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连接DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
【巩固练习】
1．已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】如图所示，取，分别为棱和的中点，连接，
由题意易知，
所以；
又易知，
故可以证明平面平面；
又平面，由面面平行的性质可知平面，
所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，
过点作，交于点，
由题意可知，
所以，
所以，
又，
所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；
故选：C
2．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面 B．直线与直线异面
C．直线平面 D．直线平面
【答案】B
【解析】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，
故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；
由，平面，平面，则直线平面，C正确；
平面，平面，则直线平面，D正确．
故选：B．
3．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【解析】如图，取中点，中点，连接，
所以，正方体中，易得，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，
可得，
则当在中点时，取得最小值为，
当在两端时，取得最大值为，
所以长度的取值范围是．
故选：D．
4．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【解析】如图所示，
作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，
由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，
由于平面KSHG有无数多个，
所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，
故选：D．
二、多选题
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
三、填空题
6．三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
【答案】2
【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，
所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故．
同理，
所以四边形的周长为2．
故答案为：2
7．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
【答案】
【解析】连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，又，∴．
故答案为：．
四、解答题
8．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；
【解析】取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
，则，
又平面，平面，故平面，
，则，同理可得平面，
而，平面，故平面平面，
又平面，故平面
9．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点．记平面与平面的交线为，求证：直线平面
【解析】因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面与平面的交线为，所以，
而平面，平面，所以平面PAC．
10.如图，直三棱锥中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
【解析】证明：如图，在直三棱锥中，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
11.如图，在正方体中，点E在棱上，且，点F是棱上的一个动点．点F在什么位置时，平面，并说明理由．
【解析】点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，设，
故 ，
设平面的法向量为，
则 ，令得：，
所以，
因为，
令，
解得：，
所以当点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面．
12.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为线段上的点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且在线段上存在一点，使得平面．请确定点的位置．并证明你的结论．
【解析】（1）证明：为矩形
又
平面，
平面
平面平面
（2）取三等分点，使得，
连接平面平面则平面
延长交于点，
，∴，即
为BC中点
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a⊄α，b⊂α，
a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，
a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理1
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理2
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b