湖南省长沙市雨花区同升湖高级中学2022-2023学年高一下学期数学周测（1）

同升湖高级中学高一数学周考（1）

命题人：高一数学组   时长：120分钟   总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知角的终边经过点，则角可以为（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)

A．(－4，－8) B．(－8，－16)

C．(4，8) D．(8，16)

4．已知平面向量 ​， 若​， 则实数（     ）

A．2 B．​ C．​ D．​

5．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

6．点O是内一点，且满足．则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（    ）

A．         B．

C．           D．

8．已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列两个向量，不能作为基底向量的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

11．在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ）

A．1 B． C．2 D．

12．下列说法正确的是（    ）

A．若非零向量，且，则为等边三角形

B．已知，且四边形为平行四边形，则

C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1

D．已知向量，则与夹角的范围是

三、填空题

13．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________.

14．如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.

15. 在中，是边的中点，则        .

16．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则___________；若，，，则___________.

四、解答题

17．已知，，．求：

(1)；

(2)．

18．已知向量，，在下列条件下分别求k的值：

(1)与平行；

(2)与的夹角为．

19．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，

（2）求与夹角的余弦值.

20． 已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若函数f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求实数λ的值．

21. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)先将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[π，2π]上的值域．

22．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

（1）试用向量，表示；

（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.

参考答案：

1．D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项．

【详解】由补集定义可知：或，即，

故选：D．

2．B

【分析】求得，结合在第二象限求得的值，由此确定正确选项.

【详解】依题意，由于在第二象限，

所以，

当时，所以B选项正确，其它选项错误.

故选：B

3．A

【分析】根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.

【详解】∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，

∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．

故选：A.

4．A

【分析】根据垂直关系的坐标表示，即可求解.

【详解】解：,则，

故选：A.

5．A

【分析】由题意得点位置后求解，

【详解】由题意得，则为中点，而是的外接圆圆心，

为直角三角形，，故在向量上的投影向量为，

故选：A

6．【答案】C

【解析】法一：根据奔驰定理及可知，

所以

法二：由可得，

设，即，

可知三点共线，且反向共线，如下图所示：

故，.故选：C.

7．B

【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.

【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，

则

，解得，所以.

故选：B

8．C

【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算法则求出向量的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解.

【详解】依题意，因为，，且与的夹角为45°，

建立直角坐标系，如图所示：

所以设，，则，

因为，

所以，

所以

整理得：，

由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上，

因为，

其几何意义代表点到点的距离，

又因为点到点的距离为：，

所以的最大值为：.

故选：C.

9．AC

【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.

【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.

B选项，不平行，可以作为基底.

C选项，，所以平行，不能作为基底.

D选项，不平行，可以作为基底.

故选：AC

10．ABD

【分析】作出示意图，由点是的重心，为的中点，得到是的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，

由，所以A正确；

由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，

又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，

即，所以B正确；

根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；

由重心的性质，可得，

所以D正确.

故选：ABD.

11．BC

【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.

即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可

【详解】由题，

，又，则，

则，为正三角形，，

故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，设，则，

则，

则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.

故选：BC

12．AC

【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.

【详解】A，因为非零向量，所以的平分线与垂直，

为等腰三角形，又，所以，

所以为等边三角形，故A正确；

B，,

，

在平行四边形中，有，

所以原式，故B错误；

C，设正三角形内切圆半径，

由面积相等可得，

解得，令的中点为，从而,

则，,

两式平方作差可得,

即，若要使最大，只需最大

由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为，

所以，故C正确；

D，设，，

所以，，

所以，

即在以为圆心，为半径的圆上，

如图：

，所以，

当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，

当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，

所以与夹角的范围是，故D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.

13．

【分析】先求得，根据，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得的取值范围，排除与共线时的值，由此求得的取值范围.

【详解】由题意可知.

又∵，

∴与的夹角为锐角，∴.

∵，∴.

解得或.

当时，与共线，其夹角不为锐角，

故的取值范围是.

故填：.

【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“与共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为与为锐角等价.

14．

【分析】作辅助线，利用重心的性质即可求解.

【详解】如图，设是上除点外的令一个三等分点，

连接，连接交于，则.

在三角形中，是两条中线的交点，

故是三角形的重心，

结合可知，

由于是中点，

故.所以，由此可知.

故答案为：.

15．【解析】解法1：将特殊化处理成如图1所示的直角三角形，建立坐标系，

则，故，

所以.

解法2：.

解法3：如图2，取中点.

【答案】

16．         

【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.

【详解】连接DF，

因为，分别为，的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；

，故

故答案为：，

17．(1)3

(2)

【分析】利用平方法进行求解﹒

(1)

由，得，则，所以；

(2)

因为，所以．

18．(1)

(2)

【分析】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：因为，，所以，，又与平行，所以，解得；

（2）解：因为，，所以，

因为与夹角为，所以，

即，解得．

19．（1），；（2）.

【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；

（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.

【详解】解法一：

（1）由图可知.

因为E是CD的中点，所以.

（2）因为，为等边三角形，所以，，

所以，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以在与夹角的余弦值为.

解法二：（1）同解法一.

（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，.

因为E是CD的中点，所以，

所以，，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以与夹角的余弦值为.

【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

20. 【答案】解　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos 2x，

|a＋b|＝

＝

＝＝2，

因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.

(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcosx，

即函数f(x)＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.

因为x∈，所以0≤cosx≤1.

①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，

f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，

由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；

③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，

由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．

综上所述，λ＝.

21. 【答案】解　(1)由图可知，A＝1，＝－＝π，所以T＝4π，ω＝＝.

所以f(x)＝sin，

将点代入得sin＝0，

令×＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ－(k∈Z)，

又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.

(2)由2kπ－<－<2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)由题意，知g(x)＝2sin＝2sin.

当π≤x≤2π时，≤－≤，

所以≤sin≤1，

所以函数g(x)＝2sin在区间[π，2π]上的值域为[1,2]．

22．（1）；（2）.

【分析】（1）由，，三点共线，设，由，，三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；

（2）由，，三点共线，设，

由（1）可求得，，即可得到为定值.

【详解】解答：（1）由，，三点共线，可设，

由，，三点共线，可设，

∴，解得，，∴.

（2）∵，，三点共线，设，

由（1）知，，

∴，，

∴.