2023湖南省名校联盟高三下学期2月联考数学试题含答案

2023届高三2月质量检测

数        学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 甲、乙、丙三人各进行一次打靶，三人打中的概率分别为，则三人中至少有一人打中的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知均为锐角，且，则（    ）

A  B.  C.  D.

5. 在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知数列满足，且，若存在正偶数m使得成立，则（    ）

A. 2016 B. 2018 C. 2020 D. 2022

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（参考数据）（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题中正确的是（    ）

A. 已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5

B. 已知随机变量，且，则

C. 已知随机变量，则

D. 已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系

10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为、，则下列说法正确的是（    ）

A. 抛物线开口向右，焦点坐标为 B. C的准线方程为

C. 的最小值为4 D.

11. “新高考”后，普通高考考试科目构成实“3＋2＋1”模式．“2”就考生在思想政治、地理、化学、生物这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选两门科目学习，设A表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，B表示事件“甲乙两人所选科目完全不同”，C表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，D表示事件“甲乙两人均选择生物”，则（    ）

A. A与B为对立事件 B. B与D为互斥事件

C. C与D相互独立 D. A与D相互独立

12. 如图，在矩形ABCD中，，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，对于多面体MNEFGH，下列说法正确的是（    ）

A. 异面直线GN与ME的夹角大小为60°

B. 该多面体的体积为

C. 四棱锥E－MNFH的外接球的表面积为

D. 若点P是该多面体表面上动点，满足时，点P的轨迹长度

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若的展开式中，的系数为，则____________．

14. 若直线上存在点P，过点P作圆O：的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是____________．

15. 已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是____________．

16. 已知椭圆C：，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），直线AP，BP分别交直线l：于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的．

（1）根据以上数据完成如下2×2列联表：

（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．

参考公式：，其中．

18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，且．

（1）求角B的大小；

（2）若的面积为，求AC边上的中线长．

19. 记为数列的前n项和，已知，，且．

（1）证明：为等比数列；

（2）求数列的通项公式及前n项和．

20. 如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）．

（1）证明；

（2）若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．

21. 设点F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当轴时，．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若，求直线l的斜率．

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，且恒成立，求实数k的最小值．

2023届高三2月质量检测

数        学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

【9题答案】

【答案】ABD

【10题答案】

【答案】ACD

【11题答案】

【答案】BD

【12题答案】

【答案】AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

【13题答案】

【答案】##

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】，

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

【17题答案】

【答案】（1）列联表见解析   

（2）年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析.

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；.

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【22题答案】

【答案】（1）答案见解析   

（2）