2023年泰安市泰山实验中学九年级第二学期自主招生数学试题和答案

2023年泰安市自主招生试题

九年级数学

第Ⅰ卷（选择题共30分）

一、单项选择题(本大题10个小题共30分，每小题选对得3分)

1．下列等式中，①y＝ax2+x+2，②y＝x，③y＝x－1，④x＝(y-2)(y+2)其中函数有(  )

    A．1个           B．2个           C．3个          D．4个

2．把直线y=-x-3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第二象限，则m的取值范围(  )

A．1＜m＜7       B．3＜m＜4       C．m＜4         D．m＞1

3. 当1≤x≤4时，mx-4＜0,则m的取值范围是(   )

A．m＞1          B．m＜1           C．m＞4         D．m＜4

4．已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（   ）

A                  B             C              D

5．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为(   )

A．12                B．14              C．16            D．18

6．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=(   )

   A．3-           B．3+           C．           D．3

7．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯(小水杯)装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（　）

A．2cm          B．4 cm          C．6cm           D．8cm

8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，

则S△BDE：S△ACD=（　　）

A. 1：16          B. 1：18         C. 1：20           D. 1：24

9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（　　）

A．36         B．12            C．6              D．3

10．如图， O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（　　）A．60             B．80            C．30                       D．40

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11．若分式方程=a无解，则a的值为       ．

12．在同一直角坐标系中，正比例函数y=mx（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象有公共点，则mk        0（填“＞”、“＝”或“＜”）.

13．如图在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为________

14．如图已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积、、，分别为4、9、49，则△ABC的面积为＿＿＿

15．如图矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，连接DE,DB,

AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为______

16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有5个结论：①abc＞0；

 ②b＞a+c；③9a+3b+c＞0； ④c＜-3a； ⑤a+b≥m（am+b），其中正确的有是      

三、解答题(本大题共7个小题，满分72分，解答题应写出必要的文字说明或推演步骤)

17．(8分) 如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为450，沿着仰角为300的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为600，求山的高度

18．(8分) 已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．

求：（1）求一次函数的解析式；

（2）已知双曲线在第一象限的图像上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．

19．(9分) 在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•AD=AN•ME．

20．(9分) 如图，在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F,连接BF.

(1)求证：△DEC∽△FDC；

(2)当F为AD边的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度

21．(10分)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为多少？

22．(14分) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE,交BF于G.

(1)求证CG=BH

(2)FC2=BF·GF；

(3) =      

23．(14分) 已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证:=

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，

使得= 成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，求出的值．

2023年泰安市自主招生试题

  九年级数学参考答案

阅卷须知：

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可；

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者相应给分.

一、选择题

二、填空题

11.±1； 12. ＞；13.1.5或3 ；14. 144；15. ； 16. ②④⑤

三、解答题

17.（1）解：∵∠BAC=450，∠DAC=300，∴∠BAD=150，∵∠BDE=600，∠BED=900，

∴∠DBE=300，∵∠ABC=450，∴∠ABD=150，∴∠ABD=∠DAB，∴AD=BD=1000，

过点D作DF⊥AC，∵AC⊥BC，DE⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90∘

∴四边形DFCE是矩形∴DF=CE在直角三角ADF中，∵∠DAF=30∘，∴DF=1/2 AD=500，

∴EC=500，BE=1000×sin60∘=500．∴BC=500+500米.

 18. 解：（1）（3分）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，

∴点A的横坐标为1，

代入反比例函数解析式， 解得y=6，

∴点A的坐标为（1，6），

又∵点A在一次函数图象上，

∴1+m=6，解得m=5，

∴一次函数的解析式为y1=x+5；

（2）（5分）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，

∴点C的横坐标为3，∴y=2，

∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，

∴x+5=2，解得x= -3，

∴点D的坐标为（-3，2），

∴CD=3-（-3）=3+3=6，

点A到CD的距离为6-2=4，由y=和y=x+5解得x=1（舍去）

∴x=-6∴点B的坐标为（-6，-1），

∴点B到CD的距离为2-（-1）=2+1=3，
S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+ ×6×3=12+9=21

19（1）证明：（1）（3分）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，又∵BE=CF，∴EF=BC=AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）（6分）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，

∵∠B=∠AME=∠DMN，

∴∠ADC=∠DMN，

又∵∠AND=∠MND

∴△ADN∽△DMN，

∴=

∴ND•AD=AN•MD，

∵DM=ME

∴ND•AD=AN•ME．

20. (1)（4分）证明：∵四边形ABCD是矩形，

 ∴∠ADC＝90°.∵CF⊥BD，

∴∠DEC＝∠ADC＝ 90°.

又∵∠DCE＝∠FCD，

∴△DEC∽△FDC.
(2)（5分）∵F为AD边的中点，

∴FD＝AD=AF 

∵AD＝BC，

∴FD＝BC.
∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，∠DFC＝∠FCB，

 ∴△DEF∽△BEC.

又∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D，AB=CD 

∴△ABF≌△CDF  FB＝FC

 

21解:如图，延长AC交BF延长线于D点

则∠CFE＝30°，

作CE⊥BD于E，

在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4 m，

∴CE＝2 m，EF＝4cos 30°＝2 m，

在Rt△CED中，CE＝2 m，

∵同一时刻，一根长为1米，垂直地面放置的标杆在地面上的影长为2米，

∴DE＝4 m，

∴BD＝BF＋EF＋ED＝12＋2 (m)，

在Rt△ABD中，AB＝BD＝ (12＋2)＝6＋ (m)．

22证明：（1 ）（5分）∵BF⊥AE，CG∥AE,

∴ CG⊥BF.

∴∠BGC=90o
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o, ∠CBG+∠BCG=90o,

∴∠ABH=∠BCG,∠AHB=∠BGC=90o,  AB=BC,

∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;

（2）（4分）∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90o,

∴△CFG∽△BFC,

∴FC:BF=FG:FC

∴FC2=BF·GF;

（3）（5分）∠GBC=∠FBC, ∠BCF=∠CGB=90o,

∴△BCG∽△BFC,

∴BC:BF=GB:BC

∴BC2=BF·GB  

∵AB=BC,∴AB2=BF·GB

∴AB2·GF=BF·GF·GB

∵FC2=BF·GF∴AB2·GF= FC2·GB

∴=

23.（1） (3分)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE＝∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，∴= ；

（2）（5分）当∠B+∠EGC＝180°时，= 成立，

证明如下：在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AD∥CB∵∠FCB=∠DFC  ∵AB∥CD，

∴∠A＝∠CDM，∵∠B+∠EGC＝180°，

∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴=，即= ；

(3) （6分）：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，∵AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CNA=90°，∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS）

∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠CBM=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，∴=，设CN=x，
∴=∴CM=x   在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

∴(x-6)2+(x)2=62   解得 x=0（舍去），x=
∴CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，