第二单元 长方体(一)——2022-2023学年五年级下册数学北师大版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

北师大版数学五年级下册

知识点01：长方体的认识

1. 在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形，叫作长方体或正方体的面；面和面相交的线段，叫作棱；棱和棱相交的点叫做顶点。长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。正方体的12条棱的长度都相等。
2. 长方体、正方体特点

3. 长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4或长×4＋宽×4＋高×4，长方体的宽=棱长总和÷4－长－高，长方体的长=棱长总和÷4－宽－高，长方体的高=棱长总和÷4－宽－长，正方体的棱长总和=棱长×12，正方体的棱长=棱长总和÷12。

知识点02：长方体的表面积

1. 表面积的意义：是指六个面的面积之和。
2. 长方体和正方体表面积的计算方法:

长方体的表面积(6个面)=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，S长=（长×宽+长×高+宽×高）×2；正方体的表面积(6个面)=棱长×棱长×6，S正=棱长×棱长×6。

知识点03：露在外面的面

1. 在观察中，通过不同的观察策略进行观察，如：一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。
2. 发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
3. 求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。

考点01：长方体的认识

【典例分析01】用丝带捆扎一个长35厘米，宽25厘米，高10厘米的长方体礼盒（如图）。打结处的丝带长40厘米。捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？

【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：需要彩带的长度等于2条长+4条高+2条宽+打结用的40厘米即可。

【解答】解：35×2+25×2+10×4+40

＝70+50+40+40

＝200（厘米）

答：至少需要200厘米的丝带。

【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法。

【变式训练01】把12盒同样的儿童牙膏用丝带捆在一起。

（1）至少需要 　   　厘米的丝带。（丝带接头处忽略不计）

（2）如果一行摆 　   　盒，摆 　   　行，会更节省丝带。

【变式训练02】用一根长1m的铁丝焊接成一个长方体框架，它的底面周长是30cm，高是多少厘米？

【变式训练03】长方体的棱长总和是124 cm，高是8 cm，宽是5 cm，这个长方体的长是多少？

考点02：长方体的表面积

【典例分析02】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是3dm、4dm、5dm，那么正方体的棱长是多少分米？要做这样一个正方体无盖鱼缸，需要多少平方米的玻璃？

【分析】长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式求出棱长总和．正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12即可求出棱长；要做这样一个正方体无盖鱼缸，就是求正方体5个面的面积，即可解答。

【解答】解：（3+4+5）×4

＝12×4

＝48厘米

48÷12＝4（厘米）

4×4×5＝80（平方厘米）

答：需要80平方米的玻璃。

【点评】此题考查的目的是掌握长方体和正方体的特征，根据长方体和正方体的棱长总和公式、及正方体的表面积公式解答。

【变式训练01】做一个微波炉的包装箱（如图），至少要用多少平方米的硬纸板？

【变式训练02】求如图所示图形的表面积。

【变式训练03】一种无盖的长方体水箱，长2.5dm，宽2.5dm，高3.5dm，制作一个这样的水箱，至少需要白铁皮多少平方分米？

考点03：露在外面的面

【典例分析03】如图，把9个棱长1厘米的小正方体拼摆在一起。如果从正面和后面看，所看到的图形面积之和是 　12　平方厘米。

【分析】从正面和后面看到的面数相同，数一下有正面有几个面相加就是面积。

【解答】解：6×2＝12（平方厘米）

答：从正面和后面看，所看到的图形面积之和是12平方厘米。

故答案为：12。

【点评】解答此题的关键是理解露出的面的个数。

【变式训练01】将一些正方体纸箱放在墙角，仔细观察各有几个面露在外面．

【变式训练02】如图中有　   　个面露在外面，露在外面的面积是　   　平方厘米．（图中小正方体的棱长为2厘米）．

【变式训练03】构成如图的正方体的棱长为2cm，求露在外面的面积是多少？

一．选择题（共5小题）

1．一个长方体的棱长之和是144厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（　　）

A．24 B．36 C．72

2．如图是用8个同样大小的小正方体拼成的，如果任意拿走1个小正方体，它的表面积与原来相比（　　）

A．增加了 B．减小了 C．不变

3．下面的图形中，能折成正方体的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（　　）倍。

A．3 B．9 C．12 D．27

5．四个一样的立方体纸箱放在墙角，与如图露在外面的面的数量相等的摆法是（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题（共5小题）

6．一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体表面积是　   　cm2．

7．如图，如果把4个棱长20分米的正方体摞在一起放在墙角的地面上，那么露在外面的总面积应是 　   　平方分米。

8．把两个棱长为9cm的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了 　   　平方厘米。

9．用下面的五块有机玻璃做成一个无盖的鱼缸，底面应是 　   　号，这个鱼缸的容积是 　   　升。（玻璃厚度忽略不计。单位：分米）

10．用一根80厘米长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的每条棱长是这根铁丝的，每条梭的长度是 　   　厘米。（损耗和接口处忽略不计）

三．判断题（共5小题）

11．两个长方体的表面积相等，它们的形状一定相同．　   　．

12．一个长方体包装盒最多可以看到8条棱。 　   　

13．这是一个正方体的展开图，原正方体上与“建”所在面设宜居成相对的面上的字是“华”。 　   　

14．求做一个长方体纸箱至少需要多少纸板，是求这个纸箱的表面积。 　   　

15．把如图图形放在墙角处，露在外面的面有7个．　   　

四．计算题（共1小题）

16．计算如图图形的表面积。（单位：cm）

五．应用题（共5小题）

17．一个正方体，六个面上分别写有六个连续的整数（如图所示），且每两个相对面上的数字和相等．本图所能看到的三个面所写的数字分别是3，6，7，求这六个数的和．

18．一个长方体礼品盒，长60厘米，宽50厘米，高40厘米，接头处长22厘米，要包装这个礼品盒需要多少米彩带？

19．惠民超市要做一个长5m、宽0.5m、高0.8m的玻璃柜台，至少需要多大面积的玻璃？

20．有一个底面是正方形的长方体通风管，高是36cm，侧面展开后恰好是一个正方形，这个通风管的体积是多少？通风管的面积是多少？

21．如图，4个棱长都是8厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少平方厘米？

一．选择题（共5小题）

1．用48厘米的铁丝做一个长5厘米，宽3厘米的长方体的框架，高是（　　）厘米。

A．4 B．8 C．3 D．16

2．右图是一个正方体展开图，如果2号面是底面，那么（　　）号面是上面。

A．3 B．4 C．5 D．6

3．一个长方体的底是面积为4平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米．

A．18 B．48 C．64

4．做一个无盖的长方体纸盒，长8dm，宽6dm，高3dm，至少要（　　）平方分米的纸板。

A．162 B．132 C．180

5．5个棱长都是5m的小方块堆放在墙角处（如右图），露在外面的面的面积（　　）cm2

A．270 B．260 C．250 D．240

二．填空题（共5小题）

6．如图，把7个棱长为20厘米的正方体纸箱放在墙角。露在外面的面积是 　   　，这个图形的体积是 　   　。

7．一个长方体长5厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体有2个面是　   　形，有　   　个面的面积相等，长方体的表面积是　   　．

8．做一个长方体鱼缸，用了如图几块长方形玻璃。（单位：dm）

这个鱼缸的底是 　   　号玻璃，鱼缸深 　   　dm。

9．一个正方体有　   　条棱，如果它的棱长总和是36cm，那么它一条棱的长度是　   　．

10．一个长方体，从中间截开正好可以分成两个相同的正方体（如图），两个正方体的棱长总和比长方体的棱长和多64厘米，其中一个正方体的表面积是 　   　平方厘米。

三．判断题（共5小题）

11．有6个面，8个顶点，12条棱的物体都是长方体．　   　．

12．这个平面图形不能折成一个正方体．　   　．

13．表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。 　   　

14．一个小正方体木块，放在墙角，有3个面露在外面　   　

15．一个正方体的所有棱长之和是120cm，它的表面积是600cm2。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．计算下面图形的表面积。

五．应用题（共5小题）

17．做一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长为60cm。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？

18．将8个棱长为2厘米的小正方体礼盒包装成一个大礼盒，包装纸至少要多少平方厘米？（先想一想，画出草图，再解答）

19．妈妈去永辉超市买了一箱果汁，果汁箱长35cm、宽20cm、高15cm。售货员用彩带把果汁箱捆扎起来（如图），打结部分彩带长40cm。至少需要多长彩带？

20．为了迎接国庆节，工人叔叔要在俱乐部的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知工人俱乐部长60 m，宽32 m，高16 m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？

21．一个长方体苹果箱的规格是60×40×30（单位：厘米），它的体积是多少？制作100个这样的纸箱至少需要多少平方米的纸板？

一．选择题（共5小题）

1．（2022秋•固镇县校级月考）王师傅用84分米长的木条拼接了一个长8分米，高5分米的长方体木框架，这个木框架的宽是（　　）分米。

A．8 B．13 C．15

2．（2022秋•灌云县期末）如图，在图中再添一个小正方形，使它成为一个正方体展开图，添加的方法共有（　　）种。

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2021秋•滨海县期末）一个正方体的棱长总和是24分米，它的表面积是（　　）平方分米。

A．8 B．24 C．144 D．216

4．（2022春•华阴市期末）将6个棱长是5cm的正方体纸箱堆放到墙角处（如图），露在外面的面积是（　　）cm2。

A．250 B．300 C．325 D．375

5．（2022春•辉县市期末）如图，甲、乙两个几何体都是由棱长5cm的小正方体搭成的，这两个几何体表面积相比较，（　　）

A．甲的表面积大 B．乙的表面积大 

C．甲乙的表面积相等 D．无法确定谁的表面积大

二．填空题（共5小题）

6．（2022秋•铜山区月考）一个长方体，长5cm，宽4cm，高3cm，把它放在桌面上，占地面积最小是 　   　cm2，最大是 　   　cm2。

7．（2022春•渭滨区期末）如图：6个棱长3dm的正方体堆在墙角，有 　   　个面露在外面，露在外面的面积是 　   　dm2。

8．（2022春•德江县期末）如图，图1是图2的展开图，“？”表示的数字是 　   　。

9．（2021秋•牟平区期末）小明把两个正方体拼成了一个长方体，表面积减少了70平方厘米。拼成的长方体的表面积是 　   　平方厘米。

10．（2021秋•环翠区期末）用一根108厘米长的铁丝正好可以焊接成一个长8厘米，宽6厘米，高 　   　厘米的长方体；如果正好焊接成一个正方体，它的表面积是 　   　平方厘米。

三．判断题（共5小题）

11．（2022春•通渭县月考）把4个小正方体摆放在一起，露在外面的面有12个。 　   　

12．（2022秋•固镇县校级月考）长方体的6个面一定都是长方形。 　   　

13．（2022•西安）用做成一个，数字“1”的对面是数字“2”。 　   　

14．（2022秋•汝州市校级期中）一根木料长2米，横截面是边长3分米的正方形，截成两段后表面积比原来增加18平方分米。 　   　

15．（2022春•当阳市期末）长方体和正方体的表面积就是求它6个面的面积之和。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．（2021秋•淮安期中）求下面几何形体的表面积。（单位：cm）

五．应用题（共5小题）

17．（2022春•祁东县期末）有一根铝丝，用它可以做成一个长3分米，宽2分米，高1分米的长方体框架；如果用这根铝丝做一个正方体框架，且在正方体框架的表面糊上包装纸，请问至少需要多少平方分米包装纸？

18．（2022春•余杭区期中）商店做了一个长为2m，宽为40cm，高为80cm的玻璃柜台。要在柜台各边都镶上铁皮，需要铁皮多少米？

19．（2022春•富平县期末）王师傅用一根长38cm的铁丝焊接成一个正方体框架，还剩余了2cm。这个正方体框架的棱长是多少厘米？

20．（2021秋•海口期末）要将这个饼干盒的每个面都贴上商标纸，至少要多少平方分米的商标纸？

21．（2022春•衡阳县期末）一个长方体的无盖水箱长4m，宽3m，高5m，制作这个水箱至少需要铁皮多少平方米？