第二单元 比例——2022-2023学年六年级下册数学北师大版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

北师大版数学六年级下册

知识点01：比例的认识

1. 表示两个比相等的式子叫作比例。
2. 在比例里，组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。

3. 判断两个比是否相等的方法：一是求比值；二是化简比。
4. 根据比例的意义，比值相等的两个比可以组成比例。

比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。

知识点02：比例的应用

1. 解比例：求比例中的未知项的过程叫作解比例。
2. 解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式，再根据等式的性质解方程，求出未知项的值。解比例方程时，可以利用内项之积等于外项之积去计算。解分数形式的方程只要“对角相乘，乘积相等”的方法计算。

知识点03：比例尺

1. 图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。，比例尺=图上距离：实际距离，实际距离=图上距离÷比例尺。
2. 根据表现形式的不同，比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。
3. 图形按比放大时，要使放大前后图形对应线段长的比相等。图形按比缩小时，也只要使对应线段长的比相等就可以。
4. 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步：一看，看原图形每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算出的结果画出原图形的放大图或缩小图。

考点01：比例的意义和基本性质

【典例分析01】如果5a＝8b，则；如果x：0.8＝25：y，则xy＝　20　。

【分析】根据比例的基本性质，把5a＝8b转换成比例式的样子就是a：b＝8：5＝；x：0.8＝25：y转换成两外项积等于两内项积的形式就是xy＝25×0.8＝20。

【解答】解：5a＝8b

a：b＝

x：0.8＝25：y

xy＝25×0.8＝20

故答案为：，20。

【点评】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。

【变式训练01】已知3a＝4b（a、b不为0），则a、b成　   　比例，且a：b＝　   　．

【变式训练02】如果4x＝7y，那么y：x＝　   　：　   　，如果5a＝4b，那么＝．

【变式训练03】用2、8、12和另一个数组成一个比例，这个数可能是哪些？

考点02：解比例和比例的应用

【典例分析02】六年级办公室买进一包白纸，计划每天用18张，可以用30天。由于注意了节约用纸，实际每天只用了12张，这包纸实际用了多少天？（用比例解）

【分析】计划每天用18张，可以用30天，用乘法即可求出白纸的总张数，实际每天只用了12张，再用除法求出实际用的天数。

【解答】解：30×18÷12

＝540÷12

＝45（天）

答：这包纸实际用了45天。

【点评】解答此题的关键是先求出白纸的总张数，然后再进一步解答。

【变式训练01】一块120公顷的麦地，一台收割机前3.5小时收割了42公顷，按照这样的速度，这块地要多少小时才能收割完？（用比例知识解答）

【变式训练02】修一条公路，总长12千米，开工6天修了1.8千米，修完这条公路还需要多少天？（用比例解）

【变式训练03】401班学生参加2021年龙湖区“炫舞在阳光下成长”班际团体操比赛，如果每行站8人，可以排成5行，如果每行站10人，可以排成多少行？（用比例解）

考点03：比例尺及其应用

【典例分析03】中心广场附近的平面图。

（1）学校到中心广场的实际距离是800米，这幅平面图的比例尺是 　1：40000　。

（2）美术馆在中心广场北偏东60°方向600米处，在图中标出美术馆的位置。

【分析】（1）依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求出这幅图的比例尺；

（2）依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出美术馆在中心广场的图上距离；再根据二者的方向关系，即可解答。

【解答】解：（1）800米＝80000厘米

2：80000＝1：40000

答：这幅平面图的比例尺是1：40000。

（2）600米＝60000厘米

60000×＝1.5（厘米）

故答案为：1：40000。

【点评】此题主要考查比例尺的意义；图上距离、实际距离和比例尺的关系；以及依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。

【变式训练01】奇奇在一幅比例尺为1：2000000的图纸上量得中国空间站距离地球约20cm，中国空间站距离地球的实际距离大约是多少千米？

【变式训练02】世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥，在一幅比例尺是1：5000000的地图上量得它的长度是11cm，港珠澳大桥的实际长度是多少千米？

【变式训练03】沈阳和哈尔滨两地的实际距离是570km，在比例尺是1：3000000的地图上，两地的距离是多少厘米？

考点04：图形的放大与缩小

【典例分析04】（1）按1：3画出长方形缩小后的图形。

（2）按2：1画出直角三角形放大后的图形。

【分析】（1）把长方形的长和宽都缩小到原来的，画出缩小后的图形；

（2）把三角形各边都扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形。

【解答】解：（1）（2）作图如下：

【点评】此题主要考查画出放大和缩小后图形的方法。

【变式训练01】（1）将图①按2：1放大，得到图②。

（2）图①的面积与图②的面积之比是 　   　.

【变式训练02】填一填，画一画。

（1）图形B是图形A按照　   　：　   　缩小后得到的。

（2）画出图形A按3：1放大后的图形C。

【变式训练03】在方格纸上画一个周长为20厘米的长方形，长与宽的比是3：2，再把所画长方形的面积按1：2分成两个长方形．（每小格为1cm）

一．选择题（共6小题）

1．一个电子零件的实际长度是2毫米，画在图纸上的长度是5厘米，这张图纸的比例尺是（　　）

A．1：25 B．1：40 C．25：1 D．40：1

2．下面能构成比例的是（　　）

A．9，3，， B．2，8，9，27 

C．0.4，3，8，0.7

3．在比例尺是1：200000的地图上，量得小华家到外婆家的距离是5cm，小华8：30从家出发，10：30走到外婆家，小华平均每时行（　　）

A．20km B．15km C．10km D．5km

4．在一个比例里，两个外项分别是和，两个内项分别是x和，求x的值是（　　）

A． B． C． D．

5．将图按1：2缩小后正确的图形是（　　）

A． B． C． D．以上都不是

6．如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（　　）

A．5：4 B．1：1 C．3：4 D．4：5

二．填空题（共6小题）

7．在一张比例尺为1：10000的地图上量得两个建筑物之间的距离是5厘米，那么它们的实际距离是 　   　米。

8．如果3x+4＝25，那么5x+8＝　   　。

9．一张满分120分的试卷，乐乐考了108分，相当于满分100分的 　   　分。

10．把一个长5厘米，宽3厘米的长方形按3：1放大，得到的图形的面积是 　   　平方厘米。

11．在一幅中国地图上量得甲地到乙地的距离是4cm，而甲地到乙地的实际距离是180km。这幅地图的比例尺是 　   　。

12．在一个比例中，两个外项的积是20，一个内项是4，另一个内项是 　   　。

三．判断题（共5小题）

13．3：2与：能组成比例。 　   　

14．任意两个圆的周长和半径的比都可以组成比例。 　   　

15．把一个长为3米、宽为2米的长方形零件按1：20缩小后画在纸上，画出的零件的长是15厘米，面积是150平方厘米。 　   　

16．把线段比例尺改写成数值比例尺是1：50。 　   　

17．图形的放大与缩小都改变了图形的形状.　   　

四．计算题（共1小题）

18．解比例。

五．应用题（共5小题）

19．六一班有男生30人，女生18人，又转来一部分女生，这时，女生的人数与男生人数的比是2：3，又转来了多少名女生？

20．在比例尺是1：1000000的地图上，量的苍南县到杭州距离是3.6厘米。苍南县到杭州的实际距离是多少？

21．李村要修一条长3000米的路，已知前4天一共修了1200米，照这样的速度，修完这条路共需要多少天？（用比例解答）

22．在比例尺是1：5000000的地图上，量得AB两地相距6厘米，甲乙两辆汽车同时从AB两地相对开出，甲每小时55千米的速度，乙每小时行65千米。几小时后两车相遇？

23．李明在电脑上把一张长6厘米，宽4厘米的照片按比例放大，放大后照片的长是13.5厘米，宽是多少厘米？

一．选择题（共5小题）

1．下面各式中，能与5：6组成比例的是（　　）

A． B．1.5：1.6 C． D．6：5

2．比例：＝x：的解是（　　）

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

3．甲地到乙地的距离210千米，用1：5000000的比例尺画在地图上，应画（　　）厘米。

A．0.42 B．42 C．4.2

4．把直角△ABC按照1：2进行缩小，得到一个新的三角形△DEF，已知△DEF的面积是8cm2，那么△ABC的面积是（　　）

A．32cm2 B．16cm2 C．4cm2 D．2cm2

5．5：7的前项加上15，要使比值不变，后项应加上（　　）

A．15 B．28 C．21

二．填空题（共5小题）

6．小孟把一张电子照片的每条边放大到原来的3倍，放大后的照片与原来照片对应边长的比是3：1，这是把原来的照片按3：1的比 　   　。

7．—幅地图上，测得甲、乙两地的图上距离是6厘米，已知甲乙两地实际距离是12千米，这幅地图的比例尺是 　   　。

8．如表，若m和n成正比例，则x＝　   　；若m和n成反比例，则x＝　   　。

9．4，3，2，6这四个数中，　   　是最小的质数，　   　是最小的合数。用这四个数组成的比例是 　   　。

10．一间房子要用方砖铺地，用边长3dm的方砖需要96块。如果改用面积是4dm2的方砖需要 　   　块。

三．判断题（共5小题）

11．6：30＝1：5。 　   　

12．解比例可以说解方程，解方程也可以说解比例　   　

13．甲杯糖水中糖与水的质量之比是1：4，乙杯糖水中糖与水的质量之比是2：7，乙杯中的糖水甜一些。 　   　

14．比例尺通常是把实际距离按比例缩小后，写成的前项是1的一个比。 　   　

15．一个三角形按2：1放大后面积扩大到原来的2倍。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．解比例。

五．操作题（共1小题）

17．在方格纸上按要求画图。

（1）按2：1的比画出平行四边形放大后的图形。

（2）按1：3的比画出长方形缩小后的图形。

六．应用题（共4小题）

18．一间教室要用方砖铺地，用面积是64平方分米的方砖要90块，如果改用6分米的方砖，需要多少块？（用比例解）

19．测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答）

20．甲、乙两车同时从相距390千米的两地相对开出，3小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是6：7，甲、乙两车的速度各是多少？

21．在一幅比例尺为1：9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，开出1.8小时后两车相遇。已知客车的平均速度为85千米/时，货车的平均速度是多少？

一．选择题（共5小题）

1．（2022春•苍南县期中）下列的比中，不能与3：2组成比例的是（　　）

A．3：2 B．： C．6：4 D．：

2．（2022•阳春市）在比例尺为1：20000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5厘米，两地的实际距离是（　　）千米。

A．100 B．400 C．1000 D．2500

3．（2022•丰都县）比例尺10：1是把原图（　　）

A．放大 B．缩小 C．保持不变

4．（2022•莒县）与能组成比例的是（　　）

A．7：9 B．12： C．3：0.8 D．20：3

5．（2022•广安模拟）如果A：B＝19，那么（A×9）：（B×9）＝（　　）

A．1 B．19 C．2 D．81

二．填空题（共5小题）

6．（2022•新华区模拟）在比例尺1：200000的平面图上，量得一座大桥长3厘米，这座大桥的实际长度是（ 　   　）米。如果小明以每小时12千米的速度从桥上通过，需要（ 　   　）分钟。

7．（2022•龙川县）（1）用20的四个因数组成一个比例是 　   　。

（2）写出两个比值是3的比，并组成一个比例 　   　。

8．（2022春•鹿邑县期中）已知如图4张卡片上的数可以组成比例，那么x最大是 　   　，最小是 　   　。

9．（2022•龙川县）图是一个长方体的展开图，每个小正方形的边长是1cm，这个长方体的体积是 　   　cm3。如果将这幅图按3：1的比放大后，用新的图形做成一个长方体，这个长方体的表面积是 　   　cm2。

10．（2022•六盘水）王老师和李老师家住同一幢楼，王老师家上个月用了12吨水，水费是42元，李老师家用了8吨水，水费是 　   　元。

三．判断题（共5小题）

11．（2022春•鹿邑县期中）把一个正方形按2：1的比放大后，它的周长和面积都扩大到原来的4倍。 　   　

12．（2022•城固县）21：14和：不能组成比例。 　   　

13．（2022•汝城县模拟）一个5mm长零件画在图纸上的长是20cm，这幅图的比例尺是1：40。 　   　

14．（2022•日照模拟）如果A×＝B×，那么A：B＝4：3。 　   　

15．（2022•璧山区）—个面积为15cm2的长方形，把它的各边放大到原来的2倍，放大后的长方形面积是30cm2。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．（2022•杭州模拟）解方程或比例。

五．应用题（共5小题）

17．（2022•市中区）小浩从图书馆借了一本《动物世界》，计划每天看20页，18天看完。实际12天就看完了，他平均每天看多少页？（用比例知识解答）

18．（2022•市中区）公园里有一个花坛，面积是100平方米，其中的30%种月季，剩下的面积按3：4的分别种玫瑰与牡丹，种玫瑰的面积是多少平方米？

19．（2022•汝城县模拟）在比例尺是的学校平面图上，量得长方形操场的长是8cm，宽是5cm，那么该学校操场的实际面积是多少平方米？

20．张叔叔家装修房子，用边长6分米的方砖铺地要用80块，如果改用边长8分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）

21．一个长方形，长是12cm，宽是6cm，按照一定比例放大后长是36cm，宽是18cm，它是按照多少比例放大的？