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内蒙古赤峰市克什克腾旗2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份内蒙古赤峰市克什克腾旗2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古赤峰市克什克腾旗八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满.）
1．（3分）近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9
3．（3分）2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．5×10﹣8 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a12
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
7．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（ ）
A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF
B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长
8．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（ ）
A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）
10．（3分）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解为x＜﹣1，且关于y的分式方程+1＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（ ）
A．4 B．13 C．6.5 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）
13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）若△ABC≌△DEF，∠D＝50°，∠E＝30°，则∠C的度数为 ．
15．（3分）因式分解：a3﹣4ab2＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
17．（3分）已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝11，则ab值等于 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝5，AD＝12，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，N是AB上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共96分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上.解答时应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（10分）先化简再求值：
（1），其中x＝3．
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，a＝2，b＝1．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
23．（12分）在近期“抗疫”期间，某学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
24．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
25．（14分）观察猜想：
（1）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是 ；
类比探究：
（2）如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，若将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么（1）中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）OA＝ ，OB＝ ．
（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年内蒙古赤峰市克什克腾旗八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满.）
1．（3分）近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、2+3＝5，故不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
3．（3分）2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．5×10﹣8 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000005＝5×10﹣8，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a12
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项C根据积的乘方运算法则判断即可，；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减选项D根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：A．a2与2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
6．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
故这个多边形的边数是10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
7．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（ ）
A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF
B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项正确；
B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
C、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
D、AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
8．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（ ）
A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）
【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵点A（2，0），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝2，
∵△BOC与△AOB全等，
∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，
∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．
综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．
10．（3分）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），
∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，
∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，
∴n＝7，m＝﹣14，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解为x＜﹣1，且关于y的分式方程+1＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
【分析】先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组的解集为：x＜﹣1，
∴≥﹣1，
∴a≥﹣7，
+1＝，
y+y﹣4＝﹣a﹣a，
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0且≠4，
∴a＜3且a≠﹣5，
∴﹣7≤a＜3且a≠﹣5，
∴能使y有正整数解的a为：﹣7，﹣3，﹣1，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：﹣10，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（ ）
A．4 B．13 C．6.5 D．7
【分析】由∠BAD＝∠D＝60，延长DE交AB于F，作出等边三角形，由CA＝CB，CE平分∠ACB，结合等腰三角形“三线合一”，延长CE交AB于G，然后解直角三角形GEF．
【解答】
解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，
∵∠BAD＝∠D＝60，
∴AF＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°，
∵CA＝CB，CE平分∠ACB，
∴CG⊥AB，即∠CGB＝90°，AG＝，
设AD＝AF＝DF＝a，
在Rt△GEF中，∠AFD＝60°，EF＝DF﹣DE＝a﹣3，
∴GF＝EF•cos∠AFD＝（a﹣3）•cos60°＝（a﹣3），
由AF﹣GF＝AG得，
a﹣（a﹣3）＝5，
∴a＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，补出等边三角形和等腰三角形的“三线合一”．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）
13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣5≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣5≠0，
解得x≠5．
故答案是：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
14．（3分）若△ABC≌△DEF，∠D＝50°，∠E＝30°，则∠C的度数为 100° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠F，再根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠D＝50°，∠E＝30°，
∴∠F＝180°﹣（∠A+∠C）＝100°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15．（3分）因式分解：a3﹣4ab2＝ a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．
16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
17．（3分）已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝11，则ab值等于 ．
【分析】首先利用完全平方公式把两个式子展开，求ab把两个式子相减，由此得出答案即可．
【解答】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13，①
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11，②
①﹣②得4ab＝2，
ab＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了完全平方公式，代数式求值，注意整体考虑，找出解决问题的简便方法．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝5，AD＝12，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，N是AB上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
【分析】连接CM，CN，由等腰三角形的性质可知：AD是BC的垂直平分线，得BM＝CM，则BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，利用等面积法求出CN的长即可．
【解答】解：连接CM，CN，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，BC＝10，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，
∴CN⊥AB时，CN最短，
∴CN＝＝＝，
∴BM+MN最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间，线段最短等知识，将BM+MN最小值转化为CN的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共96分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上.解答时应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，零指数幂和负整数指数幂求解即可；
（2）去分母，将分式方程化为一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
＝3+4+1﹣2
＝6；
（2）去分母，得2x（x﹣2）﹣（2x+1）＝（2x+1）（x﹣2），
整理，得﹣3x＝﹣1，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20．（10分）先化简再求值：
（1），其中x＝3．
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，a＝2，b＝1．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式除以单项式法则计算，合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝＝，
当x＝3时，原式＝＝；
（2）原式＝a2﹣b2+b2﹣2ab＝a2﹣2ab，
当a＝2，b＝1时，原式＝4﹣4＝0．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 y轴 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：y轴，（﹣2，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
23．（12分）在近期“抗疫”期间，某学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，根据数量＝总价÷单价，结合“用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过6600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元．
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：2.5y+1.5×2y≤6600，
解得：y≤1200．
答：增加购买A型口罩的数量最多是1200个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： x2+5x+6＝（x+3）（x+2） ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【分析】（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），列出等量关系即可；
（2）根据S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，代入数值解之即可；
（3）由S△ABC＝S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
【解答】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
∴CH＝＝＝；
答：CH的长为；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB•CH＝AB•OM+AC•ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．
【点评】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
25．（14分）观察猜想：
（1）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是 DE＝AD+BE ；
类比探究：
（2）如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，若将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么（1）中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）结论：AD+BE＝DE，证明△CEB≌△ADC（AAS），可得结论；
（2）结论：AD＝BE+DE，证明方法类似（1）；
（3）（1）中结论成立，证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）结论：DE＝AD+BE，
理由：如图1中，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE．
故答案为：DE＝AD+BE；
（2）结论：AD＝BE+DE．
理由：如图2中，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴AD＝EC＝CD+DE＝BE+DE．
（3）（1）中的结论还成立，
理由：如图3中，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）OA＝ 6 ，OB＝ 3 ．
（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出m、n；
（2）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，
解得，m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3，
故答案为：6；3；
（2）当点P在线段AO上时，OP＝6﹣t，
则×（6﹣t）×3＝3，
解得，t＝4，
当点P在线段AO的延长线上时，OP＝t﹣6，
则×（t﹣6）×3＝3，
解得，t＝8，
∴当t＝4或8时，△POB的面积等于3；
（3）如图1，当点P在线段AO上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即6﹣t＝3，
解得，t＝3，
如图2，当点P在线段AO的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即t﹣6＝3，
解得，t＝9，
∴当t＝3或9时，△POE与△AOB全等．
【点评】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
2022-2023学年内蒙古赤峰市克什克腾旗八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满.）
1．（3分）近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9
3．（3分）2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．5×10﹣8 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a12
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
7．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（ ）
A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF
B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长
8．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（ ）
A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）
10．（3分）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解为x＜﹣1，且关于y的分式方程+1＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（ ）
A．4 B．13 C．6.5 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）
13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）若△ABC≌△DEF，∠D＝50°，∠E＝30°，则∠C的度数为 ．
15．（3分）因式分解：a3﹣4ab2＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
17．（3分）已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝11，则ab值等于 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝5，AD＝12，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，N是AB上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共96分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上.解答时应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（10分）先化简再求值：
（1），其中x＝3．
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，a＝2，b＝1．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
23．（12分）在近期“抗疫”期间，某学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
24．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
25．（14分）观察猜想：
（1）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是 ；
类比探究：
（2）如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，若将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么（1）中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）OA＝ ，OB＝ ．
（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年内蒙古赤峰市克什克腾旗八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满.）
1．（3分）近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、2+3＝5，故不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
3．（3分）2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在0.000000002米～0.00000005米范围内，数据0.00000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9 B．5×10﹣8 C．5×10﹣7 D．0.5×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000005＝5×10﹣8，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a＝3a3 B．a6÷a2＝a3 C．（2a）3＝6a3 D．（a3）4＝a12
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项C根据积的乘方运算法则判断即可，；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减选项D根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：A．a2与2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C．（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
6．（3分）若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．
【解答】解：180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
故这个多边形的边数是10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
7．（3分）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（ ）
A．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF
B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项正确；
B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
C、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
D、AB＝DE，△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
8．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（ ）
A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4）
【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵点A（2，0），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝2，
∵△BOC与△AOB全等，
∴OB＝OB＝4，OA＝OC＝2，
∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．
综上可知，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．
10．（3分）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（ ）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），
∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，
∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，
∴n＝7，m＝﹣14，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．
11．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解为x＜﹣1，且关于y的分式方程+1＝的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15 B．﹣10 C．﹣7 D．﹣4
【分析】先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组的解集为：x＜﹣1，
∴≥﹣1，
∴a≥﹣7，
+1＝，
y+y﹣4＝﹣a﹣a，
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0且≠4，
∴a＜3且a≠﹣5，
∴﹣7≤a＜3且a≠﹣5，
∴能使y有正整数解的a为：﹣7，﹣3，﹣1，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：﹣10，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（ ）
A．4 B．13 C．6.5 D．7
【分析】由∠BAD＝∠D＝60，延长DE交AB于F，作出等边三角形，由CA＝CB，CE平分∠ACB，结合等腰三角形“三线合一”，延长CE交AB于G，然后解直角三角形GEF．
【解答】
解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，
∵∠BAD＝∠D＝60，
∴AF＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°，
∵CA＝CB，CE平分∠ACB，
∴CG⊥AB，即∠CGB＝90°，AG＝，
设AD＝AF＝DF＝a，
在Rt△GEF中，∠AFD＝60°，EF＝DF﹣DE＝a﹣3，
∴GF＝EF•cos∠AFD＝（a﹣3）•cos60°＝（a﹣3），
由AF﹣GF＝AG得，
a﹣（a﹣3）＝5，
∴a＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，补出等边三角形和等腰三角形的“三线合一”．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上.）
13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣5≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣5≠0，
解得x≠5．
故答案是：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
14．（3分）若△ABC≌△DEF，∠D＝50°，∠E＝30°，则∠C的度数为 100° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠F，再根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠D＝50°，∠E＝30°，
∴∠F＝180°﹣（∠A+∠C）＝100°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15．（3分）因式分解：a3﹣4ab2＝ a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．
16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
17．（3分）已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝11，则ab值等于 ．
【分析】首先利用完全平方公式把两个式子展开，求ab把两个式子相减，由此得出答案即可．
【解答】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13，①
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11，②
①﹣②得4ab＝2，
ab＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了完全平方公式，代数式求值，注意整体考虑，找出解决问题的简便方法．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD＝5，AD＝12，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，N是AB上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
【分析】连接CM，CN，由等腰三角形的性质可知：AD是BC的垂直平分线，得BM＝CM，则BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，利用等面积法求出CN的长即可．
【解答】解：连接CM，CN，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，BC＝10，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，
∴CN⊥AB时，CN最短，
∴CN＝＝＝，
∴BM+MN最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间，线段最短等知识，将BM+MN最小值转化为CN的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共96分.答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上.解答时应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，零指数幂和负整数指数幂求解即可；
（2）去分母，将分式方程化为一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
＝3+4+1﹣2
＝6；
（2）去分母，得2x（x﹣2）﹣（2x+1）＝（2x+1）（x﹣2），
整理，得﹣3x＝﹣1，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20．（10分）先化简再求值：
（1），其中x＝3．
（2）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，a＝2，b＝1．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式除以单项式法则计算，合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝＝，
当x＝3时，原式＝＝；
（2）原式＝a2﹣b2+b2﹣2ab＝a2﹣2ab，
当a＝2，b＝1时，原式＝4﹣4＝0．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 y轴 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：y轴，（﹣2，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
23．（12分）在近期“抗疫”期间，某学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同．
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，根据数量＝总价÷单价，结合“用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过6600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元．
（2）设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得：2.5y+1.5×2y≤6600，
解得：y≤1200．
答：增加购买A型口罩的数量最多是1200个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： x2+5x+6＝（x+3）（x+2） ．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
【分析】（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），列出等量关系即可；
（2）根据S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，代入数值解之即可；
（3）由S△ABC＝S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
【解答】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），
所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
故答案为：x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，AB＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
∴CH＝＝＝；
答：CH的长为；
（3）证明：如图（4），
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，
∴AB•CH＝AB•OM+AC•ON，
∵AB＝AC，
∴CH＝OM+ON．
即OM+ON＝CH．
【点评】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
25．（14分）观察猜想：
（1）如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是 DE＝AD+BE ；
类比探究：
（2）如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，若将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么（1）中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）结论：AD+BE＝DE，证明△CEB≌△ADC（AAS），可得结论；
（2）结论：AD＝BE+DE，证明方法类似（1）；
（3）（1）中结论成立，证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）结论：DE＝AD+BE，
理由：如图1中，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE．
故答案为：DE＝AD+BE；
（2）结论：AD＝BE+DE．
理由：如图2中，
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴AD＝EC＝CD+DE＝BE+DE．
（3）（1）中的结论还成立，
理由：如图3中，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）OA＝ 6 ，OB＝ 3 ．
（2）连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样点P，使△EOP≌△AOB，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出m、n；
（2）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
（3）分点P在线段AO上、点P在线段AO的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+（2n﹣6）2＝0，|m﹣n﹣3|≥0，（2n﹣6）2≥0，
∴|m﹣n﹣3|＝0，（2n﹣6）2＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，
解得，m＝6，n＝3，
∴OA＝6，OB＝3，
故答案为：6；3；
（2）当点P在线段AO上时，OP＝6﹣t，
则×（6﹣t）×3＝3，
解得，t＝4，
当点P在线段AO的延长线上时，OP＝t﹣6，
则×（t﹣6）×3＝3，
解得，t＝8，
∴当t＝4或8时，△POB的面积等于3；
（3）如图1，当点P在线段AO上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即6﹣t＝3，
解得，t＝3，
如图2，当点P在线段AO的延长线上时，
∵△POE≌△BOA，
∴OP＝OB，即t﹣6＝3，
解得，t＝9，
∴当t＝3或9时，△POE与△AOB全等．
【点评】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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