圆锥曲线中的向量与参数问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

解析几何-圆锥曲线中的向量与参数问题

专题综述

由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合运用。

专题探究

探究1：共线向量的应用

运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决。

答题思路：

通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题。

         (2021全国乙卷文科)已知抛物线的焦点到准线的距离为．
求的方程；
已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．

【审题视点】

如何利用条件求得直线的斜率是解题关键。   

【思维引导】

根据焦点到准线的距离为求出，进而得到抛物线方程，
设出点的坐标，按照向量关系得出点坐标，再代入抛物线方程中，表示出斜率，结合基本不等式分别讨论，，时的取值范围，可得结论。

【规范解析】

由题意知，，．
由知，抛物线：，，
设点的坐标为，则，
点坐标为，
将点代入得，
整理得，
直线斜率，

当时，，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，，
所以直线斜率的最大值为．

【探究总结】

不难发现在圆锥曲线的解题中运用平面向量的共线的相关知识，往往是依题将题目中涉及到共线的内容转化为坐标之间的代数关系，从而使问题简化。

           (2021广东省广州市调研)已知抛物线：，点在抛物线上，点在轴的正半轴上，等边的边长为．

求的方程；

若平行轴的直线交直线于点，交抛物线于点，点满足，，判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由．

探究2：向量的数量积的应用

向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面。

答题思路：

在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化的目的。

       (2021辽宁省沈阳市一模)已知椭圆的方程为，斜率为的直线
与相交于，两点．
若为的中点，且，求椭圆的方程；
在的条件下，若是椭圆的左顶点，，是椭圆的左焦点，要使在以为直径的圆内，求的取值范围．

【审题视点】

如何根据条件“在以为直径的圆内” 得到关于的不等式？

【思维引导】

中点弦问题可采用点差法求解．
联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得，，再代入求，分别讨论使得时的取值范围．

【规范解析】

设直线的方程为，

,,,所以，，

两式相减得,所以,

所以，所以，

解得，所以椭圆的方程为．
联立得，
所以，
，，又，，
所以
，
所以，即或，
若时，则直线的方程为，

过，不符合题意，
若时，，，，
因为在以为直径的圆内，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，且，
所以或．
故的取值范围为

【探究总结】

试题以圆锥曲线为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置为切入点，运用相应的平面向量数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系，重点考查圆锥曲线的基本数学思想方法和综合解题能力。

            (2021广东省潮州市三模)已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形．
求椭圆的方程；
设圆：上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

专题升华

平面向量的几何意义、性质、数量积等的坐标运算与圆锥曲线本身的特点（坐标化）结合比较紧密。在圆锥曲线中涉及到长度、角度、垂直等诸多问题中，如能适当的构造向量，利用向量的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。

解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键点：

       设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示

       运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系。

       在解题过程中还要涉及到圆锥曲线问题中一些常见方法，如解方程组、解不等式（组）、消元、利用根的判别式求字母的取值范围、利用韦达定理建构方程等等。

【答案详解】

变式训练1

【解析】等边的边长为，得，

代入，解得，所以，的方程为．

相切理由如下；由得的方程为，．

由等边得，直线的方程为，

不妨设直线的方程为，则，

设点，

从而，，，

由得，

由得，，整理得

所以.

由题知．设直线的斜率为，
则,

则直线的方程为，即

与抛物线联立得,整理得

从而,所以直线与抛物线相切．

变式训练2                                          

【解析】 由为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形．
可得：，且，
解得：，所以，
所以椭圆的方程为：；
当切线的斜率不存在时，其方程，
将代入椭圆的方程：得，
设，，
又，所以，
同理可得，也有，
当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，
直线与圆：相切，
所以，即，
联立，整理可得：，
，，
又因为
，
又
，
因为，
所以，
综上所述：．