圆锥曲线的弦长问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

解析几何-圆锥曲线的弦长问题

专题综述

在高考中, 圆锥曲线的综合问题, 常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是圆锥曲线中常见的一类题型,而圆锥曲线的一般弦，中点弦，焦点弦，这三种弦长问题的探究更是高考的热点，我们关注的重点。

专题探究

探究1：一般弦长问题

求解直线与圆锥曲线相交的一般弦长，根据具体情况，通常要分类讨论.

①当直线的斜率不存在时：求出点的坐标，进而求出弦长.

②当直线斜率存在时：设直线斜率为，直线与圆锥曲线交于点,，弦长

.

答题模板：联立法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）
第一步: 设点,，
第二步: ①当直线斜率不存在，直接求出点的坐标，进而求出弦长.                                                    

②当直线斜率存在时，设直线方程:,(这里的为已知量，当给定条件为过已知定点时,设点斜式)

③第三步: 联立方程组，整理得,

第四步: 判别式（对于涉及到求取值范围的题型，该步骤为关键步骤），
第五步: 韦达定理：,
第六步: 将韦达定理代入弦长公式即可求解。

       (2021新高考Ⅱ卷)已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为．                                                    

(1)    求椭圆的方程；                                                         

(2)    设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．

【审题视点】 

充要条件的证明中充分性和必要性的条件和结论分别是什么？三点共线用什么来体现？

【思维引导】

必要性：由三点共线及直线与曲线相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；

充分性：设直线，由直线与曲线相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式即可得解.

【规范解析】

（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，      

又，所以椭圆方程为；                              （2）证明：由得，曲线为，                                 当直线的斜率不存在时，直线，                                    不满足，，三点共线；                                                  当直线的斜率存在时，设，

必要性：
若，，三点共线，可设直线

即，

由直线与曲线相切可得，

解得，

联立可得，，
所以，

所以，

所以必要性成立；                                                      

充分性：

设直线即，

由直线与曲线相切可得，

所以，联立

可得，

，

所以，

所以

，

化简得，所以，所以或

所以直线或，                                              所以直线过点，，，三点共线，充分性成立；                           所以，，三点共线的充要条件是．

【探究总结】

有关直线与抛物线、椭圆、双曲线相交的一般弦长问题，一般利用根与系数关系采用“设而不求，整体代入”的解法，但要注意直线斜率是否存在的讨论，也要根据条件确认怎样设直线方程便于求解结果。

             (2021山东青岛市期中考试)已知椭圆的焦点在轴上，左顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．

探究2：中点弦问题

（1）椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例）

如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法）

注：若焦点在轴上的椭圆，则.

（2）双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例）

如图所示，为弦的中点，则;

注：若焦点在轴上的双曲线，则.       

（3）抛物线中点弦结论                                     

如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，

点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，

则. 即：

注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点，

点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.

即：.

答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理）

第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则,

第二步: 两式相减得，

第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为,

        化简可得.

       (2021江苏省宿迁市)已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．

求双曲线的方程． 

过点是否存在直线，使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【审题视点】

如何解决已知弦的中点求弦所在的方程问题？

【思维引导】

这是一道探索性题目，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或联立法。

【规范解析】

（1）由离心率，得①

又双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为，

则②

由①②，解得，则，

双曲线的方程为．

（2）假设存在过点的直线，

使直线与双曲线交于两点，且点是线段的中点，

显然直线的斜率存在，

设，则有，

两式作差，得，

即又点是线段的中点，

则，

直线的斜率，

则直线的方程为，即，

代入双曲线的方程，得，

，方程没有实数解．

过点不存在直线，使直线与双曲线交于两点，

且点是线段的中点．

【探究总结】

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，解圆锥曲线中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数关系、中点坐标公式及参数法求解。

          (2021江苏苏州联考)如图,在平面直角坐标系中,已知直线:,抛物线：．
（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
    ①求证：线段的中点坐标为；②求的取值范围．

探究3：与离心率问题有关的参数问题

常用结论：

1.过圆锥曲线焦点F做直线交曲线于A,B两点,则AB的最小值为通径.

在椭圆和双曲线中,通径=,在抛物线中,通径=. 在椭圆中,AB有最大值为,

2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.

抛物线的焦点弦公式    

过抛物线焦点的弦，若点,，过A、B的直线倾斜角为,则①弦长，，，②.

      (2019全国新课标Ⅰ卷理科)已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．

（1）若，求的方程；

（2）若，求．

【审题视点】

抛物线的焦点弦性质很多，求其弦长尽量不用弦长公式,用抛物线定义可能更简便；向量关系怎么转化？

【思维引导】  

抛物线的焦点弦长问题，可使用公式.                                                     

【规范解析】

解：（1）设直线，，，
由题意，可得，故，
因为，所以，
联立，整理得，

可知：，
由韦达定理可知，从而，

解得，
所以直线的方程为．
（2）设直线，，，

由，可得，
联立，整理得，可知：，
由韦达定理可知，，
又，解得，

代入抛物线方程得，，即，，
故．

【探究总结】

圆锥曲线焦点弦问题通常可以利用圆锥曲线的统一定义、焦半径公式、根与系数的关系等求解,解法的多样性使得题目扑朔迷离，所以认真分析题干，选择合适的解法会事半功倍.

            (2021湖北省襄阳市)已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点,为上一点,且,证明：

专题升华

      解析几何的本质是用代数方法解决几何问题,而代数方法归根结底又离不开代数运算,而运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。

      运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

      在解决圆锥曲线的弦长问题时，除了掌握必要的圆锥曲线方程、性质及相关解析几何知识外，更需要熟悉常见问题（中点弦、焦点弦）的模型求解, 注重常见技巧(数形结合、设而不求、点差法、定义法等)的总结与灵活运用。

【答案详解】

变式训练1

【解析】设椭圆的方程为．
由题意左顶点为，得，离心率为：．解得，
所以，所以椭圆的方程为：．
设，两点的坐标分别为，，
直线的方程为，由

消去，得，则，，
由，得，
所以

，

因为，所以当时，．

变式训练2                                        

【解析】：，与轴的交点坐标，
即抛物线的焦点坐标．，，抛物线：．
证明：①设点，，

则：，即：，，
又，关于直线对称，

，即，，
又的中点在直线上，，

线段的中点坐标为；
②因为中点坐标．

，即
，

即关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，．

变式训练3

【解析】设，，
线段的中点为，，，
将，代入椭圆：中，可得，
两式相减可得，，
即，

，                          

点在椭圆内，即，

解得，
由题意得，设，，，

则，，
由及题设得，．
又点在上，所以，从而，．
于是．

同理．所以，
故