空间角与空间距离-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

立体几何—空间角与空间距离

专题综述

空间角度与空间距离的推理、比较与计算，是高考考查的重点.求解方法既可以选择几何法，又可以选择向量法，在解决空间背景下及建系困难的几何体中的角与距离时，几何法更具优势，在解决简单几何体中的角与距离及探究性问题时，向量法更具优势.因此,选择合适的方法，确保快速解决问题.另外，两种方法都要求熟练准确的运算，且具有较高的直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.

专题探究

探究1：综合法

解决立体图形中角度和距离问题的思路：

立体几何平面化平面几何三角化三角问题定理化.

即把空间立体几何的问题转化为平面几何的问题，再把平面几何的问题转化为解三角形问题.

答题思路一：综合法求解空间角

（1）求异面直线成角的方法

① 平移：平移已有的平行线，或选择适当的点（线段的中点或端点），做平线性平移，或补形平移；

② 证明：证明所作的角是异面直线所成的角或是其补角；

③ 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，解三角形；

④ 取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

（2）求线面角的方法：

（I）定义法：

① 先确定斜线与平面，找到线面的交点为斜足；找线在面外的一点，过点向平面做垂线，确定垂足；

② 连结斜足与垂足,为斜线在面内的投影；投影与斜线之间的夹角为线面角；

③ 把投影与斜线归到三角形中进行求解.

（2）间接法：

设斜线与平面所成角为，则（为点到平面的距离），转化为求点到平面的距离，可利用等积转化或借助其他点求距离.

（3）求二面角的方法：

① 点为平面内一点，过点作于点；

② 证明过点的直线平面于点,连接，平面,，

即为二面角的平面角；

③ 解.

答题思路二：综合法求解空间距离

空间中的距离：平行平面间的距离、平行平面的直线到平面的距离、点到平面的距离

转化为点到平面的距离

求点到平面距离的方法：

（1）直接法：

① 求证过点的直线平面于点，则线段的长即为点到平面的距离；

② 利用求三棱锥体积的等积转化思想进行求解；

（2）间接法：转化为其他点到平面的距离

① 直线平面，转化为求点到平面的距离；

② 平面，平面平面，转化为求点到平面的距离.

（2021.福建省福州市月考试卷）如图，在棱长为2的正方体中，下列结论正确的有（   ）

A.二面角的大小为

B.异面直线与所成的角为

C. 直线与平面所成的角为

D. 到平面的距离为

【审题视点】

以简单几何体或者空间位置背景下的多选题，选项中涉及求空间角、距离、体积的问题，若建系，运算量较大，可以优先选择综合法解题.

【思维引导】

将综合法求空间角和距离的方法，以“流程化”的形式，将需要寻找的点，或需要作出的辅助线呈现出来，即可锁定所求的角或线段长.综合法的关键是，“按步骤进行”.

【规范解析】
解：在棱长为的正方体中，

连接交于点，则

平面

平面

平面

是二面角的平面角，
又,二面角的大小为
故正确

是异面直线与所成角或其补角

又

异面直线与所成角为

故错误
平面

连接，则为在平面内的投影

即为直线与平面所成的角

在中，

直线与平面所成的角为

故正确

方法一：平面

的长即为点到平面的距离

点到平面的距离为

方法二：三棱锥中

点到平面的距离为

方法三：平面，

平面

平面

点到平面的距离即为点到平面的距离

三棱锥中

点到平面的距离为，

即点到平面的距离

故正确.

【探究总结】

求空间角和距离，不能单一的只利用空间向量法求解，对于一些简单的几何体，或者建系定坐标需花费较多时间的题目，选择用综合法求解会缩短解题时间.空间三大角中，二面角的求解较为困难，记住一点出发，作两垂线，连接两垂足，解三角形即可.                                                                                                                       

（2021年全国新高考Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

探究2：向量法

利用空间向量求空间角与距离的思路：

寻找从同一点出发的三条两两相互垂直的直线（条件不足需证明垂直）

建立空间直角坐标系

确定点的坐标求出向量（方向向量或法向量）坐标

带入空间向量求角或距离的公式，求解.

答题思路三：向量法求解空间角与空间距离

（1）求空间角

① 设异面直线的方向向量分别为，则异面直线所成角的余弦值为；

② 设直线平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则

直线与平面所成角的正弦值为；

③ 设平面平面，平面，平面的法向量分别为，则法向量夹角的余弦值为.

（2）求点到平面的距离

点平面，点平面，平面的法向量为，则点到平面的距离为.

强调：

（1）利用空间向量求解空间角或者空间距离

① 通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行；

② 利用空间向量基本定理表示向量，结合空间向量数量积，求角或距离.

（2）求解空间角或者距离范围、最值的问题

依然利用上述的求解思路，只是点的坐标含有参数，导致最终的结果是一个含参表达式.结合题干条件明确参数范围，转化为函数求范围、最值问题.

（2021广东省佛山市期中考试）如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面，连接.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值； 
（3）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，三棱锥的体积为？

【审题视点】

题干条件中边长关系较多，联想到利用勾股定理或等腰三角形的三线合一的结论得出垂直结论，平面平面转化为线面垂直，故图形中垂直结论较多，第一问不难证明，同样容易建系求解后续两问.

【思维引导】

这是一道立体几何部分的常规题型，图形中垂直条件较多，不难证明平面，第一问的结论又为建系提供条件.题中需要求二面角的余弦值，及探究点位置，用空间向量解决问题的思路更清晰一些.

【规范解析】

（1）证明：∵矩形中，，，为的中点
，
 

平面平面,平面平面

平面

平面

（2）解：分别取的中点和，则，

平面

建立如图所示空间直角坐标系

则

设为平面的一个法向量，
则
令，则，即
又是平面的一个法向量，

二面角的余弦值为
（3）由（2）得

设

则
 

点到平面的距离
则
解得，则为的中点．

【探究总结】

向量法解决问题的前提是合理建系（条件不足时，有必要的证明）,写出点的坐标，求解二面角、点面距的前提是准确求出法向量.向量法本质是几何问题代数化，准确计算是保障.

（2021浙江省期中考试）如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形, ,, 底面,则（   ）

A.平面

B.直线与底面所成的角为

C.平面与平面所成锐二面角的余弦值为

D.点到平面的距离为

专题升华

对于空间角与空间距离的计算问题，综合法与向量法都需要掌握.综合法要求一作（作辅助线）、二证（证明作图的合理性，即平行垂直的依据）、三计算（利用平面几何的知识计算角或边长），注重考查空间想象能力（判别平行与垂直的位置关系），推理论证能力（平行与垂直关系的辅助线作图与论证），运算求解能力（利用余弦定理,计算三角形的内角与边长）.空间向量法要求建立坐标系、写出点坐标、计算角的三角函数值与距离或选择
空间向量基底表示其他向量, 利用空间向量数量积运算计算各种角的三角函数值与距离.两种方法针对不同的题型，各具优势，做题时选择合适的方法，快速准确的解题.

【答案详解】

变式训练1

【解析】

解：（1），为中点

平面平面,平面平面，平面

平面

（2）作于, 作于,连,则

平面,

平面

平面

平面

为二面角的平面角, 即

,为正三角形

为直角三角形

变式训练2

【解析】

解：如图，易知平面
平面

在等腰梯形中，过点作于点
则，，，
所以
因此满足，所以
又，平面，，

平面

平面

，即直线与底面所成的角为
建立如图所示空间直角坐标系
则，，，，

，
设平面的法向量，由得
取，可得平面的一个法向量
又为平面的一个法向量
设平面与平面所成锐二面角为，

则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
故点到平面的距离为
故选