三角恒等变换及综合应用-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

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三角函数与解三角形-三角恒等变换及其综合应用专题综述三角恒等变换及其综合应用问题高考中以公式的基本运用、计算为主，题型以选择和填空为主，算是比较基础的题型是我们必须拿下的一部分.但由于三角函数诱导公式众多，解题时如果没有正确的方向，则容易陷入繁杂的化简过程，造成解题障碍.同学们只要在解题中注意发现条件角与结论角、条件式与结论式之间的联系，并认真研究三角函数诱导公式的一些结构特征，从整体上把握公式，就能做到灵活运用，达到解题突破. 专题探究     探究1：变换角 三角恒等变换中，要注意观察条件角与结论角之间的特征，寻找它们之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角和差公式等求解.在进行角的变换时，还可以将条件角、结论角与特殊角如、、等建立联系，然后把“结论角”用“条件角”或特殊角表示出来. (2021.山东模拟)设为锐角，若，则的值为_______.【审题视点】把结论角用条件角和特殊角表示，采用换元变角法。                      【思维引导】观察条件角与结论角的关系，当不能直接看出的时候，可转化为方程求解。【规范解析】设，，可得，由，可得.因为，，可得，所以，，故.【探究总结】当“条件角”有一个时，我们应着眼于“结论角”与“条件角”的和或差的关系，来进行变换.当“条件角”有两个时，“结论角”一般可以表示为两个“条件角”的和或差的形式.  (2021·山东省期末考试)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.已知，，，____，求.  探究2：变换函数名有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需要变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦等等，以达到统一函数名称的目的。在变换函数名称的过程中，常用到公式有诱导公式、、,同角三角函数基本关系，、辅助角公式、二倍角公式等.（2021.新高考全国Ⅰ卷）若，则（     ）A.       B.      C.        D. 【审题视点】将结论式用条件式表示即可。【思维引导】利用作为桥梁，运用完全平方公式，化异角为同角.注意到是关于的二次齐次式，可改变结构，化为关于的齐次式求解.【规范解析】  原式   故选：．  【探究总结】利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除即可,解题时要注意“1”的代换，如：，，及的情况的讨论.       (2021.湖北模拟)若，则的值是_______. 专题升华 求解三角恒等变换问题的基本思路是一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”，首先就是观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心，其次是看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，再次观察代数式的结构特征.从而迅速找到解决问题的办法.        【答案详解】变式训练1【答案】【解析】解：选择条件①，．得，
因为，所以，可得； 所以；
由于，，所以，所以；
所以.选择条件②：，，
所以；
由于，，所以，
所以；；
所以
选择条件③：因为，所以；
由，可得，解得，；
由于，，所以，所以；
所以.变式训练2【答案】                                            【解析】