圆锥曲线的离心率-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

这是一份圆锥曲线的离心率-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义，共8页。
解析几何-圆锥曲线的离心率专题综述圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容之一， 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的用表示，转化为关于离心率的关系式，这是化解有关离心率问题难点的根本方法。专题探究  探究1：求离心率(或取值范围)  解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解．(2021浙江省丹州市期末)在等腰梯形中,,且,，其中,以，为焦点且过点的双曲线的离心率为,以、为焦点且过点的椭圆的离心率为,若对任意,不等式恒成立,则的最大值为A.  B.  C.  D. 【审题视点】 如何利用题设条件表示？【思维引导】根据双曲线和椭圆的性质用表示和，然后利用对勾函数的单调性求解。【规范解析】如图所示，连接，过作于点，则，所以，

又，故，
则，
根据双曲线的定义有，
即，，
而根据椭圆的定义有，，令，则由，可知，又，则，
由对勾函数的性质可知，
又恒成立，即的最大值为，
故选：．【探究总结】关于离心率取值范围问题，往往要建立不等式模型来解决，体现了较强的综合性，同时还重点考查了方程的思想、不等式思想、转化思想等重要的数学思想，因此是高考命题者历年关注的热点问题。       (2021山东省泰安市一模)过抛物线：的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是_____________． 探究2：离心率问题中的共焦点问题 在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，学生面对此类问题往往束手无策，下面介绍下与此类问题有关的两个结论。已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则Ⅰ．；     Ⅱ．＋＝1．【方法技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减． 结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．然后使用结论Ⅱ：＋＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．(2021福建省福州市模拟)已知椭圆：与双曲线:的焦点重合，，分别为，的离心率，则A. 且              B. 且 C. 且              D. 且【审题视点】如何将问题转化为二元条件最值问题，是解题关键。【思维引导】先由结论Ⅰ得出，的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题,借助不等式求解.【规范解析】设P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，为它们的左右焦点，则，,∴, 由结论Ⅰ可得 ,方法1：（利用均值不等式）∵，,∴,故选A.方法2：（利用三角换元）由，,,可设,,,则. 故选A. 方法3：（利用消元法）∵  ,∴ ，∴ ，由，,,得,则，则. 故选A.【探究总结】如果已知与的倍数关系，则可由结论Ⅰ得到与的等量关系式，于是问题转化为二元条件最值或范围问题，利用求二元条件最值的基本方法（如均值不等式、三角换元、消元法等）使问题获解。 (2021湖南省四校联考) 设椭圆：与双曲线：的公共焦点为，，将，的离心率记为，，点是，在第一象限的公共点,若点关于的一条渐近线的对称点为,则          ．探究3：与离心率问题有关的参数问题 有些离心率问题，如果题设条件中含有参数，同时参数的取值范围已知或易求解，首先找出离心率和参数之间的关系，进而求出离心率的取值范围。(2021湖南省株洲市)已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过原点，若椭圆的离心率不大于，则的取值范围为      A.  B.  C.  D. 【审题视点】如何利用 “以线段为直径的圆经过原点”这个条件，得到关于和离心率的关系式？【思维引导】                                                        由题意，将代入椭圆方程整理得，设，，由韦达定理及以线段为直径的圆经过原点,求得，由，求得的取值范围．【规范解析】将代入椭圆方程整理得：
，
设，，
则，
而，
由题意得，，
，，
，将，代入得：
，即，
又，解得．故选D 【探究总结】解析几何中与参数有关的问题的思考途径与常用方法:1.应用判别式建立不等式关系;      2.根据曲线的范围建立不等关系;3.挖掘曲线的隐含不等式;          4.利用题设条件中的不等关系. (2021湖北省荆州市高三模拟) 过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点,若,且该椭圆的离心率，则的取值范围为________________．专题升华与圆锥曲线离心率有关的二级结论：结论1（最大顶角）：在椭圆焦点三角形中，∠，则当为短轴端点时，最大，且椭圆的离心率， ;结论2（最大顶角）：设为椭圆上一点，,, ∠, 则当为短轴端点时，∠且椭圆的离心率 ;结论3（斜率乘积）：在椭圆中，若直线与椭圆相交于两点，是弦的中点，则.        【答案详解】变式训练1【答案】【解析】如图，

，且，，
过作准线的垂线，垂足为，
，，，
在中，，，
，，
直线的斜率，；
与双曲线的一条渐近线垂直，
，则，即，
解得．
故答案为：变式训练2【答案】                                            【解析】  连接，

由题意可得焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，
所以，
因为点关于的一条渐近线的对称点为，
所以双曲线的一条渐近线是线段的中垂线，
所以可得，所以，
所以，即，所以，所以．
故答案为：．变式训练3【答案】                                                【解析】                                                                      如下图所示，设右焦点，连结，，又，得四边形是矩形，，，，，
，，，，
∴,该椭圆的离心率，∴，，，的取值范围是，故答案为.