2023届湘豫名校联考高三高考3月第一次模拟考试 文科数学试题及答案

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湘豫名校联考

2023年3月高三第一次模拟考试

数学（文科）

姓名__________准考证号__________

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.如图所示的程序框图中，若输出的函数值，则输入的实数（    ）

A.    B.    D.或    C.

4.已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ）

A.    B.0    C.1    D.2

5.为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如下2×2列联表.则下列说法正确的是（    ）

参考公式及数据：，其中.

A.有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”

B.有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”

D.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”

6.已知实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A.5    B.6    C.7    D.9

7.已知函数在区间上的极值点有且仅有2个，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（    ）

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

A.    B.

C.    D.

9.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

12.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面向量，则向量与的夹角为__________.

14.已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.

15.已知双曲线的左､右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.

16.党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一､某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，1360.每件产品的售价为100元，通过市场分析，生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；

（2）若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人竞赛成绩在内的概率

18.（本小题满分12分）

已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，且是正三角形，分别是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

20.（本小题满分12分）

已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个不同的零点，求证：.

（二）选考题：共10分､请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与轴交于点，点在曲线上运动，求直线斜率的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

若函数的最小值为5.

（1）求的值；

（2）已知，且，求的最小值.

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2023年3月高三第一次模拟考试

数学（文科）参考答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D  【命题意图】本题考查集合的运算及解不等式，考查了数学运算的核心素养.

【解析】因为集合，所以.故选D.

2.B  【命题意图】本题考查复数的运算和复数模的求解，考查了运算求解能力和数学运算的核心素养.

【解析】因为，所以.故选.

3.D  【命题意图】本题考查程序框图及函数计算，考查了数学运算､逻辑推理的核心素养.

【解析】由程序框图可知，该程序是运算分段函数的值.因为输出的函数值，所以当时，由，解得；当时，由，解得.故选D.

4.C  【命题意图】本题考查函数的周期性及函数的对称性，考查了数学抽象､逻辑推理的核心素养.

【解析】由，得①.又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即②.联立①②两式，可得，所以.所以函数的一个周期为8.所以.故选C.

5.A  【命题意图】本题考查独立性检验，考查了数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.

【解析】因为的观测值，由临界值表知，有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.故选.

6.D  【命题意图】本题考查线性规划，考查了直观想象､逻辑推理的核心素养.

【解析】由题，画出满足题意的可行域如图所示，令可化为相当于直线在轴上的截距.平移直线，当直线过点时，截距最大，最小；当直线过点时，截距最小，最大.联立得所以.联立得所以.所以.所以.故选D.

7.C  【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】因为，所以当时，有.因为在区间上的极值点有且仅有2个，结合函数图象得，解得，所以的取值范围为.故选C.

8.B  【命题意图】本题考查线性回归分析，考查了数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.

【解析】由题中的数据可知，所以.所以.所以.故选B.

9.B  【命题意图】本题考查函数的值域，考查了逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】方法一：函数，因为，所以，所以.所以.所以，即.当时，；当时，.故的值域为.故选B.

方法二：由，得.因为，所以.当时，；当时，.所以的值域为.故选B.

10.A  【命题意图】本题考查解三角形､平面向量的相关运算，考查了数学运算､逻辑推理的核心素养.

【解析】方法一：如图，设，则.在中，由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.故选.

方法二：由题可得，，所以①.又因为），所以②，由①②得，由①得，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选.

11.D  【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】方法一：设直线的方程为，联立整理可得：，则.由题设知，所在的直线方程为.因为直线与直线相交于点，所以；同理可得.所以.因为为锐角，所以，所以

，则，解得：或，所以，或，或.故直线的斜率的取值范围是.故选D.

方法二：当时，分别在第一､第三象限（或第三､第一象限），由数形结合得.易得，所以为锐角.同理当时满足条件.检验时，，所以为锐角.排除法可得.

12.A  【命题意图】本题考查导数的应用，考查了数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象的核心素养.

【解析】方法一：比较的大小时，（法一）设函数，则，令，得，当时，，函数单调递增；当，函数单调递减.所以当时，函数取得最大值，因为，所以，即.

（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以.

比较的大小时，设函数，则.当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增.因为，，又，所以，即.综上可得，，故选A.

方法二（估值法）：因为0.43.所以.故选A.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  【命题意图】本题考查向量的运算，考查了数学运算的核心素养.

【解析】方法一：因为，所以.因为，所以.

方法二（几何法），设为原点，结合图象，可得，所以.

14.  【命题意图】本题考查线面垂直以及三棱锥的外接球问题，考查了直观想象和数学运算的核心素养.

【解析】由题意，将三棱锥补成直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上､下底面外接圆圆心连线的中点上.设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，因为平面，，由正弦定理得，，所以.所以三棱锥外接球的表面积为.

15.1  【命题意图】本题考查双曲线与圆的综合应用，考查了直观想象､数学运算､逻辑推理的核心素养.

【解析】由题意得，所以，所以.因为点在上，所以，所以，解得.所以，所以双曲线的方程为.由解得，所以.

16.11000  【命题意图】本题考查函数的应用，考查了数学建模､数学运算､逻辑推理的核心素养.

【解析】由题意得，销售收入为万元，当产量不足50万件时，利润；当产量不小于50万件时，利润.所以利润因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则；当时，由，当且仅当时取等号.又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.【命题意图】本题考查统计与概率，考查了逻辑推理､数学运算､数据分析的核心素养.

【解析】（1）因为，

所以竞赛成绩的中位数在内.

设竞赛成绩的中位数为，则，解得.

所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.

（2）由频率分布直方图可知，竞赛成绩在和内的频率分别是和，

则采用分层抽样的方法抽取的6人中，竞赛成绩在内的有4人，记为，

竞赛成绩在内的有2人，记为.

从这6人中随机抽取2人的情况有：，共15种.

其中符合条件的情况有，共8种故所求概率.

18.【命题意图】本题考查数列的通项､数列求和，考查了逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】①因为①，

当时，，得.

当时，②，

①-②得：，即，

所以.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以.

所以.

（2）由（1）知，，

令，

则③.

所以④.

③-④得：，

整理得：

所以.

19.【命题意图】本题考查空间线面位置关系､空间几何体的体积，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】（1）证明：取的中点，连接.

因为底面是等腰梯形，，

又分别是的中点，所以.

又因为平面平面，所以平面.

因为是的中点，所以.

又因为平面平面，所以平面.

因为平面平面，

所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（2）如图，取的中点，连接.

由已知得且，所以四边形是平行四边形，

所以，且.

因为是正三角形，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，所以.

设，则.

在Rt中，由，即，解得，

即.

方法一：由题意可得，点到的距离，

即点到平面的距离为.

又平面，所以点到平面的距离为.

所以.

方法二：连接，由题意得，，所以点到的距离为.

因为为的中点，所以三棱锥的高为三棱锥高的，所以.

所以.

20.【命题意图】本题考查抛物线､导数的几何意义､直线与抛物线，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】（1）因为，由题意可得，

解得，所以抛物线的标准方程为.

（2）方法一：设，由，得，

所以抛物线在点处的切线方程为，

在点处的切线方程为.

因为两条切线均过点，所以

所以点的坐标均满足，

所以，即，解得，或.

不妨设，则.

易知，所以.

所以，

.

所以，所以，所以平分，

所以点到直线的距离等于点到直线的距离，

所以，为定值，得证.

方法二：设切点为，由，得，

所以过点的抛物线的切线方程为.

联立方程消去并整理得，

则，解得，或.

不妨设，则，

所以直线的方程为.

易知，所以直线的方程为.

由得即.

易得直线的方程为，直线的方程为，

所以点到直线的距离，

点到直线的距离.

所以，则，为定值，得证.

21.【命题意图】本题考查导数及其应用，考查了逻辑推理､数学运算的核心素养.

【解析】（1）当时，.

则.

当时，解得，又，所以；

当时，解得，或，又，所以.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）函数，

令，得.

令，则直线与函数的图象在上有两个不同的交点.

因为，由，得；由，得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

所以.

又，且当时，且，

由于是方程的两实根，所以.

方法一：不妨设，由，

得，

两式相减得：，

两式相加得：.

欲证：，只需证：，

即证：，即证：.

设，则，代入上式得：.

故只需证：.

设，则，

所以在上单调递增，

所以，所以.

故，得证.

方法二（换元法十构造差函数）：不妨设，令，

则，即证.

设，则.

因为，所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，易得；

当时，要证，即证，即证.

因为，所以.

构造函数，易得.

则，所以.

又，所以，即.

所以在上单调递增，.

所以，即.

故，得证.

（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【命题意图】本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程互化，圆的参数方程与极坐标方程互化，考查了直观想象和数学运算的核心素养.

【解析】（1）因为曲线的参数方程为(为参数)，

所以曲线的普通方程为，整理得.

因为所以曲线的极坐标方程为

因为直线的极坐标方程为，

所以，即直线的直角坐标方程为.

（2）因为直线，所以直线与轴交于点.

因为曲线的方程为，所以曲线表示圆心为，半径为1的圆.

设直线的斜率为，点，则，整理得.

由，得.

故直线斜率的最大值为

23.【命题意图】本题考查不等式，考查了数学运算､逻辑推理的核心素养.

【解析】（1）因为t>0，

所以

即

因为在上单调递增，在，上单调递减，

所以，所以.

（2）由（1）知，则.

因为，，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立.

又，所以当，时，取得最小值4.