北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数1 指数幂的拓展学案设计

§1　指数幂的拓展

1．正分数指数幂的定义是什么？

2．正分数指数幂有哪些性质？

3．负分数指数幂的定义是什么？

1．正分数指数幂

(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．

(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.

②a＝.

2．负分数指数幂

给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝＝.

能否将＝－3写成(－27)＝－3?

[提示]　不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．

1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：

(1)b4＝35；

(2)b－3＝32.

[解]　(1)∵b4＝35，∴b＝3.

(2)∵b－3＝32，∴b＝32.

2.计算：

(1)8＝________；

(2)27＝________.

(1)2　(2)　[(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.

(2)由负分数指数幂的定义，得27＝.

设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝.]

类型1　根式的化简与求值

【例1】　化简：

(1)(x＜π，n∈N*)；

(2).

[解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0.

当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，＝x－π.

综上可知，＝

(2)＝＝ .

正确区分与n

(1)表示a的n次方的n次方根，而n表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．

(2)运算结果不同

①n＝a.②＝

1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)

A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0

C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0

B　[∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.

又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.]

2．若＝，则实数a的取值范围为________．

　[＝|2a－1|，＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.]

类型2　根式与分数指数幂的互化

【例2】　(1)3可化为(　　)

A． B．

C． D．

(2)可化为(　　)

A．a B．a

C．a D．－a

[思路点拨]　熟练应用＝a是解决该类问题的关键．

(1)D　(2)A　[(1)3＝＝.

(2) ＝＝a.]

根式与分数指数幂的互化规律

1．关于式子＝a的两点说明

(1)根指数n即分数指数的分母；

(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．

2．通常规定a中的底数a>0.

3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：

(1)；(2).

[解]　(1)＝＝a；

(2)＝.

类型3　求指数幂a的值

【例3】　求下列各式的值：

(1)64；(2)81.

[思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈

N＋，a，b>0)求解．

[解]　(1)设64＝x，则x3＝642＝4 096，

又∵163＝4 096，

∴64＝16.

(2)设81＝x, 则x4＝81－1＝，

又∵4＝，

∴81＝.

解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．

4．求下列各式的值：

(1)125；(2)128.

[解]　(1)设125＝x，则x3＝125，

又∵53＝125，

∴125＝5.

(2)设128＝x，则x7＝128－1＝，

又∵7＝，

∴128＝.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1) 2表示个2相乘．(　　)

(2) a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(　　)

(3) a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2.可化为(　　)

A．a B．a

C．a D．－a

[答案]　A

3．计算243等于(　　)

A．9 B．3

C．±3 D．－3

B　[由35＝243，得243＝3.]

4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.

[答案]　5

5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，

(1)＝________；

(2)＝________.