高中数学3.1 指数函数的概念第1课时导学案

§3　指数函数

3.1　指数函数的概念

3.2　指数函数的图象和性质

1．指数函数的概念是什么？

2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a>1)和y＝ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？

3．y＝ax和y＝x(a>0且a≠1)的图象和性质有什么关系？

知识点1　指数函数的概念

1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．

2．性质：(1)定义域是R，函数值大于0；

(2)图象过定点(0,1)．

指数函数的解析式有什么特征？

[提示]　指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1.

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝x2是指数函数．(　　)

(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　)

(3)y＝2x＋1是指数函数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a＝________.

3　[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]

3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.

()x　[设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f(x)＝()x.]

知识点2　指数函数的图象和性质

1．对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)．

(1)当x<0时，0<ax<bx<1；

(2)当x＝0时，ax＝bx＝1；

(3)当x>0时，ax>bx>1.

2．对于函数y＝ax和y＝bx(0<a<b<1)．

(1)当x<0时，ax>bx>1；

(2)当x＝0时，ax＝bx＝1；

(3)当x>0时，0<ax<bx<1.

3．指数函数的图象和性质

4．一般地，指数函数y＝ax和y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反．

(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？

(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？

[提示]　(1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．

(2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．

4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝x是减函数．(　　)

(2)已知函数f(x)＝3x，若m>n，则f(m)>f(n)．(　　)

(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)．

①y＝x；②y＝(＋1)x；

③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x.

[答案]　②④

6.函数f(x)＝2x＋3的值域为________．

[答案]　(3，＋∞)

7.函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

(1,0)　[由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1,0)．]

第1课时　指数函数的概念、图象和性质

类型1　指数函数的概念

【例1】　给出下列函数：

①y＝2·3x；②y＝3x；③y＝32x；④y＝x3.

其中，指数函数的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

C　[①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；

②中，y＝3x是指数函数；

③中，y＝32x＝9x，故③是指数函数；

④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]

判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ax(a>0，且a≠1)的形式．

1．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)

A．a＝1或a＝3 B．a＝1

C．a＝3 D．a>0且a≠1

C　[由指数函数定义知，

所以解得a＝3.]

类型2　指数型函数的定义域和值域

【例2】　求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝.

[解]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4，

∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．

∵≠0，∴2≠1，

∴y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(2)定义域为R.

∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，

∴此函数的值域为[1，＋∞)．

(3)由题意知1－x≥0，

∴x≤1＝0，

∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．

∵x≥0，∴x≤1.

又∵x>0，∴0<x≤1.

∴0≤1－x<1，

∴0≤y<1，

∴此函数的值域为[0,1)．

函数y＝af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．

(2)值域：①换元，令t＝f(x)；

②求t＝f(x)的定义域x∈D；

③求t＝f(x)的值域t∈M；

④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．

(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．

2．函数f(x)＝＋的定义域是________．

[2,4)∪(4，＋∞)　[依题意有解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)．]

3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．

(1，＋∞)　[∵ax－a≥0，

∴ax≥a，

∴当a>1时，x≥1.

故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]

4．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．

[解]　①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，

所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；

②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，a＝或a＝.

类型3　指数型函数图象

【例3】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．

(1)D　(2){m|m≥1，或m＝0}　[(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.

(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．

若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，

即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]

处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

4．函数f(x)＝的大致图象为(　　)

　               A　　　　B　　  　 C 　　 　D

A　[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．

由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

再考虑单调性：f(x)＝＝＝1＋，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]

5．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)

　              A　　 　　B　　　 　C　　　　D

CD　[当a>1时，∈(0,1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上是增函数，故C符合；

当0<a<1时，>1，

因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合．故选CD.]

指数函数图象变换问题探究

为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：

(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.

[问题探究]

1．请分别写出这4组函数的解析式．

[提示]　(1)y＝f(x－1)＝2x－1；

(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；

(3)y＝－f(x)＝－2x；

(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.

2．若给出函数f(x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．

[提示]　能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图象．

(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图象．

(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图象关于x轴对称．

(4)将函数y＝f(x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数|f(x)－1|＝|4x－1|的图象.

1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)

①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；

③y＝1x；④y＝2x－1.

A．0个 B．1个

C．3个 D．4个

B　[由指数函数的定义可判定，只有②正确．]

2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)

A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1

C．a>，且a≠1 D．a≥

C　[依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C.]

3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

C　[函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.]

4．函数f(x)＝2x－3(1<x≤5)的值域是________．

　[因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2.而函数f(x)＝2x－3在其定义域上是增函数，所以<f(x)≤4，即所求函数的值域为.]

5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．

7　[由已知得解得

所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.]