北师版高中数学必修第一册第4章§2 对数的运算学案

§2　对数的运算

1．对数具有哪三条运算性质？适用条件是什么？

2．换底公式的内容是什么？

1．对数的运算性质

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，

(2)loga＝logaM－logaN，

(3)logaMb＝blogaM(b∈R)．

2．换底公式

若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．

结合对数的换底公式探究logba与logab，loganbm与logab之间有什么关系？

[提示]　logba＝，loganbm＝logab.

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)

(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　)

(4)由换底公式可得logab＝.(　　)

(5)logaM＋log3N＝log6(MN)．(　　)

(6)log23·log32＝1.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√

类型1　对数运算性质的应用

【例1】　求下列各式的值：

(1)log2(47×25)；

(2)lg；

(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；

(4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2.

[解]　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.

(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.

(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.

法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝1.

对数式的化简与求值的思路

(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．

(2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

1．求下列各式的值．

(1)24＋log23；(2)log312－log32；(3)lg25＋2lg2－lg22.

[解]　(1)24＋log23＝24×2log23＝16×3＝48.

(2) log312－log32＝log3－log32＝log3

＝log3＝ .

(3)法一：lg25＋2lg2－lg22

＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2

＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2

＝(lg5－lg2)＋2lg2

＝lg2＋lg5

＝lg10

＝1.

法二：lg25＋2lg 2－lg22＝(1－lg 2)2＋2lg 2－lg22＝1－2lg 2＋lg22＋2lg 2－lg22＝1.

类型2　对数换底公式的应用

【例2】　计算(1)log29·log34；(2).

[解]　(1)由换底公式可得，

log29·log34＝·＝·＝4.

(2)原式＝×＝log×log 9＝×＝×＝－.

换底公式的应用技巧

(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．

2．计算(log43＋log83)×.

[解]　原式＝×＝×＋×＝＋＝.

类型3　对数中的条件求值

【例3】　已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)

[解]　因为18b＝5，

所以b＝log185.

所以log3645＝＝

＝＝

＝＝

＝.

1．若18b＝5,18a＝9，如何求log1845(用a，b表示)?

[解]　因为18b＝5,18a＝9，所以log185＝b，log189＝a，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.

2．若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？

[解]　因为9b＝5，

所以log95＝b.

所以log3645＝＝＝＝.

解对数综合应用问题的三种方法

(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式．

(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．

(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．

3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．

[解]　由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝.

所以logmz＝－－＝，

所以logzm＝60.

1．已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于(　　)

A． B．

C．10 D．100

B　[由已知得lg＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，

∴＝10－1＝.]

2．＝(　　)

A． B．2

C． D．

B　[原式＝＝＝2.]

3．2log510＋log50.25＝(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

C　[原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.]

4．lg＋lg的值是________．

1　[lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.]

5．若logab·log3a＝4，则b的值为________．

81　[logab·log3a＝·＝＝4，

所以lg b＝4lg 3＝lg 34，

所以b＝34＝81.]