高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 频率与概率学案设计

§3　频率与概率

1．如何用频率估计概率？

2．频率与概率有什么关系？

1．概率的概念和性质

(1)概率的定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫作随机事件A的概率．

(2)记法： P(A)．

(3)范围：0≤P(A)≤1.

2．频率与概率的关系

概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似．概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．

(1)向上抛掷一枚均匀的硬币100次，其中正面向上的有53次，则在本次试验中硬币正面向上的频率是多少？抛掷一枚硬币，正面向上的概率是多少？

(2)同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？

[提示]　(1)在本次试验中硬币正面向上的频率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是.

(2)概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的．

1.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是(　　)

A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈

B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈

C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%

D．以上说法都不对

C　[治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．]

2.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为(　　)

A．1 B．

C． D．0

[答案]　B

类型1　概率的意义

【例1】　解释下列概率的含义．

(1)某厂生产产品的合格率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.

[解]　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”，说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．

(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，大约有20人中奖．

三个方面理解概率

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值．

(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．

(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．

1．下列说法正确的是(　　)

A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女

B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

D　[一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]

类型2　概率与频率的关系及求法

【例2】　下面是某批乒乓球质量检查结果表：

(1)在上表中填上优等品出现的频率；

(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？

[解]　(1)如下表所示：

(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.

如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验的次数n很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值．

2．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：

(1)计算表中的各个频率；

(2)读者对该教辅材料满意的概率P(A)约是多少？

[解]　(1)表中各个频率依次是0.998,0.998,0.998，0.999,1.

(2)由第(1)问的结果，可知在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅材料满意”的概率约是P(A)＝0.998.

类型3　概率的简单应用

【例3】　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．

当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.

所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，

由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，

因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

1．估计六月份这种酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率．

[解]　这种酸奶一天的需求量不低于300瓶，当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，所以这种酸奶一天的需求量不低于300瓶的概率的估计值为0.8.

2．把本例(2)中“六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶”改为“六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶”，写出Y的所有可能值，并估计Y大于500的概率．

[解]　当这种酸奶一天的进货量为300瓶时，

若最高气温不低于20 ℃，则Y＝6×300－4×300＝600；

若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2(300－200)－4×300＝200.

所以，Y的所有可能值为600,200.

Y大于500当且仅当最高气温不低于20 ℃，

由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，

因此Y大于500的概率的估计值为0.8.

用频率估计概率的步骤：

(1)进行大量的随机试验得频数．

(2)由频率计算公式fn(A)＝，得频率．

(3)由频率与概率的关系，估计概率值．

3．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：

(1)求各组的频率；

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．

[解]　(1)频率依次是：0.223,0.193,0.165,0.042，0.048，0.121,0.208.

(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是223＋193＋165＋42＝623，

所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.623.

即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.623.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)某地发行福利彩票，其回报率为35%.有人花了100元钱买彩票，一定会有35元的回报．(　　)

(2)小张打靶10次，中了8次，因此小张中靶的概率是0.8.(　　)

(3)随机事件A发生的概率随着试验次数的增加越来越精确．(　　)

[提示]　(1)错误．回报率是35%，说的是中奖的概率是35%，花100元钱买彩票，可能中奖，也可能不中奖．

(2) 错误．本次试验中小张中靶的频率是0.8，但概率不一定是0.8.

(3) 错误．概率是客观存在的，它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．事件A发生的概率接近于0，则(　　)

A．事件A不可能发生    

B．事件A也可能发生

C．事件A一定发生         

D．事件A发生的可能性很大

B　[由概率的意义可知事件A也可能发生．]

3．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是(　　)

A．概率为

B．频率为

C．概率接近

D．每抽10台电视机，必有1台次品

B　[因为只有1次试验，并不能用频率去估计概率，所以只能说频率为.]

4．下列说法正确的是________(填序号)．

①频率就是概率．

②频率是客观存在的，与试验次数无关．

③随着试验次数的增加，频率越来越稳定在某个常数上，这个常数就叫做概率．

④概率是随机的，在试验之前不能确定．

[答案]　③

5．某商品的合格率为99%，某人购买这种商品100件，他认为这100件商品中一定有1件是不合格的，这种认识是______的(填“合理”或“不合理”)．

[答案]　不合理