高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 数学建模的主要步骤学案设计

§2　数学建模的主要步骤

【例1】　[提出问题]　两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时．现同时点燃两根蜡烛．一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍．问两根蜡烛燃烧了多长时间？

[建立模型]　(1)设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/小时)，则有y＝l＝3x；

(2)点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R，r，则R＝3r.

[求解模型]　根据条件有：＝(燃烧时间相同)化简为l＝4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的，

所以燃烧的时间为＝＝(小时)．

[检验结果]　为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注．

【例2】　[提出问题]　李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次．已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次．

[建立模型]　(1)设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；

(2)为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组．

[求解模型]　由条件得不定方程组

②－2×①消去z得7x＋3y＝41.

正整数解为(不合方程①)，⇒

[检验结果]　验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5、2、3次，总共得分61分．

【例3】　[提出问题]　甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水．如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)

[建立模型]　要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动，问题是在何处留下食物和水？

(1)经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水．

(2)第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点．

(3)第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点．

[求解模型]　所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米．

[检验结果]　从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？