专题17 解直角三角形（精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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锐角三角函数（sinA，csA，tanA）解直角三角形
30°，45°，60°角的三角函数值
使用参考数据由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角
用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14982" 第17讲 解直角三角形（精讲） PAGEREF _Tc14982 \h 1
\l "_Tc21501" 考点1：锐角三角函数的计算 PAGEREF _Tc21501 \h 2
\l "_Tc1779" 考点2：解直角三角形 PAGEREF _Tc1779 \h 9
\l "_Tc24561" 考点3：解直角三角形的应用 PAGEREF _Tc24561 \h 25
\l "_Tc28556" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc28556 \h 53
\l "_Tc24683" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc24683 \h 55
考点1：锐角三角函数的计算
①锐角三角函数：
正弦: sinA＝eq \f(∠A的对边,斜边)＝eq \f(a,c)
余弦: csA＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(b,c)
正切: tanA＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq \f(a,b).
②特殊角的三角函数值

｛三角函数的定义★｝已知中，，，，那么下列各式中正确的是
A．B．C．D．
｛三角函数的定义★｝在中，，，则的正弦值为
A．B．C．2D．
｛三角函数的计算★｝计算： ．
｛三角函数的定义★｝如图，在中，，，，则 ．
｛三角函数的定义★｝在中，，，，则 ．
｛三角函数的计算★｝计算： ．
｛三角函数的计算★｝在中，，则一定是： ．
（2021•泸州）在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：（其中为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为
A．B．C．D．
（2020•桂林）如图，在中，，，，则的值是 ．
考点2：解直角三角形
①解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
②解直角三角形的常用关系：
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=csB=eq \f(a,c)，csA＝sinB=eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).

｛解直角三角形★｝如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于
A．B．C．D．
｛解直角三角形★｝如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为
A．3B．C．D．
｛解直角三角形★｝如图，在四边形中，，，，，则的值为
A．2B．C．D．
｛解直角三角形★｝（2021•内江）已知，在中，，，，则的面积为 ．
｛解直角三角形★｝如图，中，，，点、点分别在、上，连接、，，，，则 ．
｛解直角三角形★｝如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的值为 ．
｛解直角三角形★｝如图，在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是 ．
｛解直角三角形★｝在中，，，，，则的长为 ．
｛解直角三角形★｝在中，是的高线，若，，，则长为 ．
（2021•黑龙江）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为
A．1 B．2C．D．
（2021•宜宾）如图，在中，点是角平分线、的交点，若，，则的值是
A．B．2C．D．
（2021•广东）如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为
A．B．C．1D．2
（2021•宜昌）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为
A．B．C．D．
考点3：解直角三角形的应用
仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

｛解直角三角形的应用★｝如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的点处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板的长度至少是
A．米B．米C．米D．米
｛解直角三角形的应用★｝我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是
A．B．
C．D．
｛解直角三角形的应用★★｝如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为 米 ．
｛解直角三角形的应用★★★｝在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为 米．（参考数据：，，，，精确到0.01米）
｛解直角三角形的应用★｝（2021•阜新）如图，甲楼高，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是，看乙楼底的俯角是，则乙楼高度约为 （结果精确到，．
｛解直角三角形的应用★｝如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度为 米 （保留根号）
｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离约是 海里．（结果保留整数，
｛解直角三角形的应用★｝如图，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以4海里小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，2小时后相遇在点处，则乙货船每小时航行 海里．（精确到，参考数据
｛解直角三角形的应用★★★｝小李想测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段表示，小李站在点测得，小李从点走4米到达了斜坡的底端点，并测得，从点上斜坡走了8米到达点，测得，，，在同一水平线上，、、、、在同一平面内，则大树的高度约为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：，
｛解直角三角形的应用★★｝如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度为；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为 米．
｛解直角三角形的应用★★★｝自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．则斜坡的长为 米 ．（结果保留根号）
｛解直角三角形的应用★★★｝如图1，这是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的立体示意图，图2是它的平面示意图．已知汽车货箱高度，货箱底面距地面的高度，坡面与地面的夹角，木箱的长为，高为，宽小于汽车货箱的宽度．已知，木箱底部顶点与坡面底部点重合，则木箱底部悬空部分的长为 ，木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为 ．
｛解直角三角形的应用★｝某市为了加快网格信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是，则 米；信号发射塔的高度为 米．（结果精确到0.1米，
｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为 ．
｛解直角三角形的应用★｝（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆．求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：，，，
｛解直角三角形的应用★｝周末，甲乙两人相约去附近的山顶处写生．甲从小山的正东方向处出发，乙从小山正西方向的处出发．已知处的海拔高度为18米，处的海拔高度比处高30米，且、两地的水平距离为1048米．山坡的坡角为，山坡的坡度．问：
（1）小山的海拔高度是多少米？
（2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：，，
（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面及的值都正确的是
A．，
B．，
C．，
D．，
（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为 ．（结果保留小数点后一位，参考数据：，
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•宛城区校级期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是
A．2B．C．D．
2．（2022秋•大名县校级期末）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．
3．（2023•小店区校级一模）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为，点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为
（参考数据：，，，
A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米
4．（2022秋•密云区期末）为锐角，若，则的度数为
A．B．C．D．
5．（2022秋•宣州区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么的正弦值是
A．B．C．D．
6．（2022秋•桃江县期末）如图，在中，，于，下列式子正确的是
A．B．C．D．
7．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是
A．B．C．D．
8．（2022•从化区一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，在格点上，则正切值是
A．B．C．2D．
9．（2022秋•南关区校级期末）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为 ．
10．（2022秋•德惠市期末）在中，，，，那么的长为 ．
11．（2022秋•驻马店期末）在中，若，则的度数是 ．
12．（2022秋•广饶县校级期末）一等腰三角形的两边长分别为和，则其底角的余弦值为 ．
1．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在中，，，，且为锐角，的值是
A．B．C．D．
2．（2022秋•丛台区校级期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于
A．B．C．D．
3．（2022秋•邹城市校级期末）如图．某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处9米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．他在处又测得宣传牌顶部的仰角为，则宣传牌的高度为 米（结果保留根号）．
4．（2022秋•桐柏县期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作的垂线，交延长线于点．已知，．则的值为 ．
5．（2023•未央区校级三模）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端的仰角为，沿山坡向上走到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度（结果精确到，参考数据：．
6．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，
1．（2021秋•武昌区校级期末）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为
A．2B．3C．D．
2．（2021•成都自主招生）一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于
A．B．C．D．
3．（2021•唐河县一模）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度是米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离是多少？
4．（2020•江阴市模拟）如图，将含角的直角三角板绕其直角顶点顺时针旋转角，得到△，与交于点，过点作交于点，连接．易知，在旋转过程中，为直角三角形．设，，的面积为．
（1）当时，求的值．
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）以点为圆心，为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．