2023滁州定远县育才学校高三下学期第一次模拟考试数学含解析

2023年高三第一次模拟试卷

数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知是定义在上的偶函数，且在为减函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

4.  函数的图像的一条对称轴为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  记函数，的定义域的交集为，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“单交函数对”下列所给的两个函数构成“单交函数对”的有(    )

A. ， B.
C. ， D. ，

6.  函数 的 图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  年月日至日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生人，其中高一人，高二、高三各人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是(    )

A. 从高一学生中抽取人
B. 抽取的高二学生的总阅读时间是小时
C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为小时
D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为

10.  如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是(    )

A. 点到侧棱的距离相等
B. 正四棱柱外接球的体积为
C. 若，则平面
D. 点到平面的距离为

11.  已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是，，下列说法正确的有(    )

A. 圆上恰有一个点到直线的距离为
B. 切线长的最小值为
C. 四边形面积的最小值为
D. 直线恒过定点

12.  如图，在梯形中，，，，在线段上，且，现沿线段将折超，折成二面角，在此过程中(    )

A.
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若，是线段上的两个点，，，则在线段上存在点，当时，
D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  若非零向量，满足，则与夹角的余弦值为_________．

14.  已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则          ．

15.  的两个极值点，满足，则的最小值为______．

16.  第届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．
 

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知数列满足，且

求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式

求数列的前项和．

18.  本小题分

在中，的对边分别为，．

若，求的值；

若，的平分线交于点，求长度的取值范围．

19.  本小题分

某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
 

根据的独立性检验，能不认为数学成绩与语文成绩有关联

在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值．

现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人里再随机抽取人参加数学竞赛，求这人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望．

附：，

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，四边形是正方形，且，是棱上的动点，是线段的中点：
 

求证：平面

是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为若存在，请求出线段的长若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知椭圆：过点为，．
求椭圆的方程及其焦距；
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，求的值．

22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个不相同的零点，，设的导函数为证明：．

答案和解析

1. 【解析】集合，

集合，

．故选：．

2. 【解析】设，
则，
且，
，
解得，，
，
当时，
，
当时，
，
故．故选：．

3. 【解析】是定义域为的偶函数，
，，
，，
，
又在上单调递减，
，
，故选C．  

4. 【解析】．
令，
解得．故选：．
5. 【解析】由题意可知，函数与的图象有一个交点，交点两侧图象一侧满足，另一侧满足，
选项A，，，
可得时，函数递增；时，函数递减，可得处函数取得最小值，
即，故不满足“单交函数对”的定义；
选项B，由可得，或，即与在上有两个交点，
故不满足“单交函数对”的定义；
选项C，函数与函数的图象如图所示，

由图象可知，它们满足“单交函数对”的定义；
选项D，由二次函数和指数函数的图象及性质可知，函数与函数的图象有三个交点，
故不满足“单交函数对”的定义；故选：．
6. 【解析】函数  的定义域为  ，

  ，

 函数  是奇函数，排除；

当  时，  ，

此时图像在  轴的上方，排除．故选：

7. 【解析】等式，，两边同时平方相加得，
，
即，得，得，即，
，，
得，
代入，得，
即，即，
则，
，故选：．
8. 【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，
由椭圆定义，
可得，，
又，由余弦定理得，
，
可得，
得，即，
可得，即，
又时，可得，
即，亦即，
得．

9. 【解析】对于，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取人，人，人，故A正确；
对于，抽取的高二学生的总阅读时间是，故B错误；
对于，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为小时，故C正确；
对于，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确．故选：．
10. 【解析】对，根据题意可得为正四棱柱的中心，
点到侧棱的距离相等，选项正确；
对，设正四棱柱外接球的半径为，
则根据对称性及长方体的体对角线公式可知：
，，
正四棱柱外接球的体积为，B正确；
对，，
根据题意可得，
∽，
，从而易得，
又易知平面，且平面，
，又，且，
平面，又易知平面与平面重合，
平面，选项正确；
对，由分析知点到平面的距离为，D错误，故选：．
11. 【解析】由圆：，可知圆心，半径，圆心到直线：的距离为，
圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和，由于圆上有两个点到直线的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，当最小时，有最小值，又，，故B正确；
四边形面积为，，
四边形面积的最小值为，故C正确；
设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆：，即，
两式子相减得：直线的方程为：，即，
由，得，即直线恒过定点，故D正确．故选：．

 12. 【解析】对于，
如图，延长，相交于点，
易得∽，得，所以，
得四边形是为正方形，
连接交于点，则，
则，
，
在翻折过程中始终有，，，面，平面，
所以面，平面，
，故A正确．
对于，，
当时，最大，又，
此时，
，故B正确．
对于，在选项A的正方形中，，则，
故点为中点，则，所以为中点，若，则为的中点，
所以，故C错误．
对于，利用选项A中图像和结论来解答，
若成立，又，，面，面，
面，
又面，
，即，
，与矛盾，故D错误．故选：．

13.

【解析】由题意可得，
所以，
则，故答案为：．

14. 

【解析】由题可知，函数为周期为的函数，且，

，

，

故

15. 

【解析】由函数，，
令，则，
因为函数两个极值点，，
则，，
得，
设，则且，代入得，，
设，则，
设，则，
在单调递减，
，从而，
在单调递减，
，
，故的最小值为．故答案为：．
16. 

【解析】设内层椭圆方程为，
由于内外椭圆离心率相同，
由题意可设外层椭圆方程为，
所以点坐标为，点坐标为，
设切线的方程为，
切线的方程为，
联立直线的方程与内层椭圆方程，，
直线与椭圆相切，
，化简整理可得，，
同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，
，
，即，
，解得．
故答案为：．
17.解：证明：，，
即，又，数列是等差数列，
由上可知，公差，其首项，
，解得．
，
，
，得
，
． 

18.解：，

，，

．

由知，，，设，

，．

19.解：假设数学成绩与语文成绩无关
据表中数据计算得

根据小概率值的的独立性检验，
我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关．

估计的值为．
按分层抽样，语文成绩优秀的人，语文成绩不优秀的人，随机变量的所有可能
取值为，，，．
，，
，
的概率分布列为

数学期望 

20.证明：以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，
又设，，
，，，
，，
，，
又，平面，平面，
因此平面．
由平面的一个法向量为，
又，，设平面的一个法向量为，
则，不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的二面角为，则，
解得或，此时点在线段的延长上，
所以，不存在这样的点． 

21.解：因为椭圆过点为，，
所以有，解得，
椭圆的方程为；
依题意过点的直线为，设、，
不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
即，
于是有，即． 

22.解：的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，
要想有两个不相同的零点，，则，
解得：，，故，
要证，即证，
即证：，
因为在上单调递增，
所以只需证，不妨设，，
两式相减得：，
变形为，
下面证明在上成立，
只需证，即，
令，即证，
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，，
故，即，所以，，证毕．