2023湖北省沙市中学高三下学期2月月考试题数学含解析
展开2022—2023学年度下学期2020级
二月月考数学试卷
命题人：刘昌梅 审题人：邹振斌
考试时间：2023年2月23日
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. 2 C. D.
3. 在正方形中，在上且有与对角线交于，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（）（ ）
A. B.
C. D.
5. 从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（ ）
A B. C. D.
6. 已知，周期是的对称中心，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 通过长期调查知，人类汗液中指标的值服从正态分布.则（ ）
参考数据：若，则；.
A. 估计人中汗液指标的值超过的人数约为
B. 估计人中汗液指标值超过的人数约为
C. 估计人中汗液指标的值不超过的人数约为
D. 随机抽检人中汗液指标的值恰有人超过的概率为
10. 已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 的取值范围为
C. 若为线段上的动点，则
D. 过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
11. 已知抛物线C：过点是准线上的一点，F为抛物线焦点，过作的切线，与抛物线分别切于，则（ ）
A. C准线方程是 B.
C. D.
12. 设定义在上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称 B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 中的系数为__________（用数字作答）.
14. 已知直线是曲线与的公切线，则__________.
15. 若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，
16. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为________．
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 已知数列满足，其中是的前项和.
（1）求证：等差数列；
（2）若，求的前项和.
18. 在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
（1）若，求的大小；
（2）求的最小值.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.
（1）求证：平面
（2）若，求二面角正弦值.
20. 2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；
（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.
21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
（1）求的方程；
（2）若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
22. 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个零点，求的范围，并证明
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