2023武汉洪山高级中学高二下学期2月月考试题数学含解析

武汉市洪山高级中学2022～2023学年度第二学期

高二2月考试数学试卷

试题分值：150分    考试时长：120分钟

★祝考试顺利★

一、单选题：本题共8小题，每小题5分．

1. 已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（    ）

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】由前n项和及等差中项的性质可得求得，进而求公差即可.

【详解】由，则，

∴公差.

故选：B.

2. 设函数在处的导数为2，则（    ）．

A.  B. 2 C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的定义与极限的性质计算即可.

【详解】.

故选：A.

3. 下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案.

【详解】选项A中，在 上不恒非负，选项A错误；

选项B中， ，所以 的图像不关于原点对称，选项B错误；

选项C中， ，即 为奇函数，图像关于原点对称

又，时，恒成立

所以在上单调递增，选项C正确；

选项D中，当 时，在上为单调增函数在 上为单调减函数，选项D错误.

故选：C.

4. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先由已知得点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断

【详解】由已知得点在圆外，

所以，解得，

所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件，

故选：B

5. 已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.

【详解】由题意，数列满足，即，

所以数列为等差数列，

设等差数列的公差为，则，

所以数列的通项公式为，

令，即，解得，

所以当时，，当时，，

所以数列中前项的和最大，故选C.

【点睛】本题主要考查了等差数列中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

6. 正方体棱长为a，，N为的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基底向量分别表示出，再根据向量减法以及向量的模的计算公式即可解出．

【详解】因为，所以，而N为的中点，

所以．

故．

故选：C．

7. 若是的切线，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.

【详解】设切点坐标为，

，，又，，

，

令，则，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，又当时，，，

即的取值范围为.

故选：A.

8. 已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到，，，，再根据O、A、F、M四点共圆，可知四边形为等腰梯形，利用，求得a，b关系即可.

【详解】由题意得：，，，

因为M为线段OB的中点，

又为AB的中点，，即四边形为梯形，

又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，

而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，

，即，整理得，

所以，

故选：A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分．

9. 已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.

【详解】解:若,因为,不重合,所以,

若,则共线,即,故选项A正确;

若,则平面与平面所成角为直角,故,

若,则有,故选项B正确;

若,则,故选项C错误;

若,则或,故选项D错误.

故选:AB

10. 已知为数列的前项和，下列说法正确的是（    ）

A. 若为等差数列，则，，为等差数列

B. 若为等比数列，则，，为等比数列

C. 若为等差数列，则，，为等差数列

D. 若为等比数列，则，，为等比数列

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项，设出公差，利用等差数列前项和公式得到，从而得到，，成等差数列，A正确；

B选项，考虑公比为1和公比不为1两种情况，得到，，成等比数列，B正确；

C选项，利用等差数列前项和公式得到，C正确；

D选项，考虑公比为1时满足，，为等比数列，当公比不为1时，，，不为等比数列，D错误.

【详解】A选项：为等差数列，设公差为，所以，

，，

故，，

因为，所以，，成等差数列，A正确；

B选项，成等比数列，设公比为，

若，则，则，

故，故，，成等比数列，

若，则，，，

所以，

，

则，，

故，即，，成等比数列，

综上：若为等比数列，则，，为等比数列，B正确；

C选项，为等差数列，设公差为，

则，，，

因为，，

故，

则，，成等差数列，C正确；

D选项，成等比数列，若，则，

则，，为等比数列，

若，则，，，

则，，

因为，

所以，，不为等比数列，D错误.

故选：ABC

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（    ）

A. 双曲线的离心率为2

B. 若，且，则

C. 以线段，为直径的两个圆外切

D. 若点P在第二象限，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.

【详解】对于A，设，则，因为，，

所以，由，得，故A正确.

对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，

又因为，所以，整理得.

由，可得，

即，解得，故B错误，

对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.

对于D，设，则，.因为，所以，，

则渐近线方程为，所以，.

又，，

所以

，

因为，所以，故D正确.

故选：ACD

【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.

12. 函数，，下列说法正确的是（    ）．（参考数据：，，，）

A. 存实数m，使得直线与相切也与相切

B. 存在实数k，使得直线与相切也与相切

C. 函数在区间上不单调

D. 函数在区间上有极大值，无极小值

【答案】AB

【解析】

【分析】对AB，设直线与、分别切于点，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；

对CD，令，由二阶导数法研究函数单调性及极值.

【详解】对AB，设直线l与、分别切于点，，，

则有，解得或.

当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意；

当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意，AB对；

对CD，令，，则，

由得在单调递增，

由得，时，，单调递增，CD错.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13. 若，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示即可求值.

【详解】由，解得.

故答案为：

14. 数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将递推关系式转化为，进而得出通项，再进一步验证得出通项公式.

【详解】由得：

（且）

（且）即（且）

数列是第二项起公比为的等比数列，

（且）又不满足上式，

15. 已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

构造新函数，利用已知可以判断出新函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可.

【详解】设，因为，

所以是上的减函数，

因为，所以，

因此.

所以的解集为.

故答案为：

16. 复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这9张纸的面积之和等于______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由题设知的长宽均是公比为的等比数列，设长宽结合已知即可求，进而求纸的面积；它们的面积是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求和即可.

【详解】由题意，若长宽，长宽，长宽，…

∴，可得，则长宽，故其面积为.

由上知：9张纸的面积是首项为，公比为的等比数列，

∴9张纸的面积之和等于.

故答案为：，

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 在数列中，，前n项之和为.

（1）若是等差数列，，求b的值；

（2）若是等比数列，，求b的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设的公差为d，根据题意求出首项和公差，即可得出答案；

（2）根据等比数列前项和公式求出公比即可得解.

【小问1详解】

解：设的公差为d，则由已知可得：，

解得，

∴；

【小问2详解】

解：若是等比数列，则公比为，

又，则，

则，，则，

故，解得.

18. 已知函数，且在点处的切线l与平行.

（1）求切线l的方程；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）   

（2），无极大值.

【解析】

【分析】（1）先利用切线l与平行解出，再求出切点的坐标，进而求出切线方程；

（2）直接求导确定单调性，进而求出极值.

【小问1详解】

函数的定义域为，

由，则，

因为在点处的切线l与平行，

所以，即，解得，

所以，所以，

所以在点处的切线的方程为，

即；

【小问2详解】

，得，，

由得；由得；

所以函数在上单调递减，在上递增；

故，无极大值.

19. 已知等差数列的前项和是，若，并且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和是，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等比中项的性质求解方程即可；

（2）错位相减法求解数列的前项和.

【小问1详解】

因为，，成等比数列且，所以得，

化简得，所以或者−1，当时，，

所以，，不是等比数列，与已知矛盾，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；

【小问2详解】

（2），

所以，，

所以，

∴.

20. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE是正方形，，，平面ABC，，.

（1）求证：平面平面BEF；

（2）求平面ABF与平面BEF的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）要证明面面垂直即证明线面垂直，即证线线垂直，根据图形中的垂直关系证明即可；

（2）以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，运用空间向量中的法向量求二面角的大小.

【小问1详解】

因为，平面，所以平面，在正方形中，，平面，

所以平面.因为，所以平面平面.

因为平面，所以平面.因为平面，所以.

因为，所以.由题意知，，，则，所以.

因为，所以平面.又平面，所以平面平面.

【小问2详解】

因为，平面ABC，所以以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，则，，.

设为平面的法向量，则即

取，则为平面的一个法向量．设为平面的法向量，

则即取，则为平面的一个法向量，

所以.由图可知，二面角夹角为锐二面角，

所以二面角的夹角余弦值为.

21. 点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，点P到定直线的距离为d.利用直接法求轨迹方程；

（2）设.先求出斜率不存在时，；当斜率不存在时，可设.由O到l的距离为，求得，用“设而不求法”表示出弦长，利用二次函数求最值.

【小问1详解】

设，点P到定直线的距离为d.

由题意可得：，即，整理化简得：.

即点P轨迹方程为.

【小问2详解】

设.

当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为，由对称性不妨设直线l：.

所以满足，

解得：，所以.

当直线l的斜率存在时，可设.

因为原点O到l的距离为，所以，即.

则满足，

消去y可得：.

所以.

所以

因为，所以恒成立，所以.

所以

令则，则

综上所述：的取值范围为.

【点睛】（1）待定系数法、定义法、直接法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求法 ”是一种在解析几何中常见解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

22. 已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分析定义域并求解导函数，分类讨论与时的正负，从而可得函数的单调性；

（2）结合（1）的答案判断得时，存在两个零点，需，再结合，可得函数在上有零点，再求解，并构造新函数，通过求导判断单调性求解得，从而可得函数在上有零点，从而可得的取值范围为.

【小问1详解】

函数定义域为，

∵，∴．

①当时，在上恒成立，

即函数的单调递减区间为．

②当时，，解得，

当时，，

∴函数的单调递增区间为，

当时，，

∴函数的单调递减区间为．

综上可知：

①当时，函数的单调递减区间为；

②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

【小问2详解】

由（1）知，当时，函数在上单调递减，

∴函数至多有一个零点，不符合题意；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

∴，

又函数有两个零点，∴，∴．

又，∴，使得，

又，

设，则，

∵，∴，∴函数在上单调递减，

∴，∴，使得，

综上可知，实数的取值范围为

【点睛】关键点点睛：通过函数单调性列不等式，然后分别在的两侧取值判断对应函数值小于，即取小于，通过构造函数，求导判断单调性与最大值的方式，从而得函数在和上存在零点.