高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质第2课时导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质第2课时导学案，共7页。

类型1 指数式的大小比较
【例1】 (链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,11)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,33)))；
(3)1.50.3和
[解] (1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<
(2)指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,11)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,33)))x的图象(如图)，由图知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,11)))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,33))).
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>
比较指数式大小的3种类型及处理方法
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)．
[解] (1)∵0<0.8<1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，
∴0.8－0.2>0.8－0.1，
而0.8－0.2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))－0.2＝1.250.2，
即0.8－0.1<
(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.
当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；当a>1时，a0.5 类型2 解含指数型不等式
【例2】 求解下列不等式：
(1)已知3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5＝30.5，所以由3x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－0.5可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax＋7可得－5x－eq \f(7,6).
②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a－5x>ax＋7可得－5x>x＋7，解得x<－eq \f(7,6).
综上，当0－eq \f(7,6)；当a>1时，x<－eq \f(7,6).
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x
(a>0，且a≠1)等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2≤2x的解集为________．
{x|x≥1，或x≤－2} [∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2，
∴原不等式等价于22－x2≤2x.
∵y＝2x是R上的增函数，
∴2－x2≤x，
∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，
∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．]
类型3 指数型函数性质的应用
指数型函数的单调性问题
【例3】 求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x＋3的单调区间．
[解] 令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t为减函数，故函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
指数型函数的奇偶性问题
【例4】 若函数y＝a－eq \f(1,2x－1)为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域．
[解] (1)由奇函数的定义，可得
f(－x)＋f(x)＝0，即a－eq \f(1,2－x－1)＋a－eq \f(1,2x－1)＝0，
∴2a＋eq \f(1－2x,1－2x)＝0.
∴a＝－eq \f(1,2).
(2)∵y＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2x－1)，
∴2x－1≠0，即x≠0，
∴函数y＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2x－1)的定义域为{x|x≠0}．
指数型函数性质的综合问题
【例5】 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(2x,4x＋1).
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)求f(x)的值域．
[解] (1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－eq \f(2－x,4－x＋1)＝－eq \f(2x,1＋4x).
又f(0)＝0.故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,4x＋1)，x∈0，1，,0，x＝0，,－\f(2x,4x＋1)，x∈－1，0))
(2)f(x)＝eq \f(2x,1＋4x)，x∈(0,1)为减函数，证明如下：
任取x1，x2∈(0,1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1,4x1＋1)－eq \f(2x2,4x2＋1)
＝eq \f(2x2－2x12x1＋x2－1,4x1＋14x2＋1).
∵0∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0,1)上是减函数．
由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上也是减函数．
∴当0即f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2)))；
当－1f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20,40＋1)，－\f(2－1,4－1＋1)))，
即f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5))).
而f(0)＝0，故函数f(x)在(－1,1)上的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5)))∪{0}∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2))).
1．对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－x2，求f(x)的值域与单调区间．
[解] 令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－x2≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＝eq \f(1,2)，故函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－x2的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．
4．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
[解] 函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；
当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t＝2x在[0，＋∞)上递增，
∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调增区间为[0，＋∞)．
同理可得单调减区间为(－∞，0].
1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是
( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
B [由已知，得0<1－2a<1，解得02．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53B．0.82<0.83
C．π2<πeq \r(2)D．0.90.3>0.90.5
D [∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，
∴0.90.3>]
3．若f(x)＝3x＋1，则( )
A．f(x)在[－1,1]上为减函数
B．y＝3x＋1与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0,1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
B [f(x)＝3x＋1在R上为增函数，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选B.]
4．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为________．
(－∞，＋∞) [由已知得，f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]
5．不等式52x2>5x＋1的解集是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)，))或x>1)) [由52x2>5x＋1得2x2>x＋1，
解得x<－eq \f(1,2)或x>1.]